[Première S] equation du second degré

[invitebbf02352]

Bonsoir,


On me demande de résoudre dans R l'équation x⁴ - x³ + x² - x = 0
Je dois vous avouer que je n'ai pas trop su par où commencer, en général il y a un facteur commun évident ou une forme canonique bien apparente

Je suppose que je dois ramener à la fin mon équation sous la forme canonique ou sous la forme ax² + bx + c = 0

Donc j'ai commencé par mettre la partie de droite sous forme canonique et je trouve :

x⁴ - x³ + x² - x = 0
x⁴ - x³ + (1) (x² -x + 0) = 0
x⁴ - x³ + (1) (x² -2* 1/2x + 1/4 - 1/4) = 0
x⁴-x³+ (1) [(x-1/2)² - 1/4)] = 0

Mais à vrai dire je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour me débarrasser des membres de gauche et aboutir.
Si quelqu'un aurait l'amabilité d'orienter mon jugement je lui en serai reconnaissant.
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[invitea29b3af3]

salut

Il y a un facteur évident, c'est x:
équivaut à
Ensuite il faut trouver une solution évidente de , et ya pas besoin de chercher bien loin: x=1 satisfait l'équation , donc tu peux écrire:

Il ne te reste plus qu'à trouvé a,b,c et, si possible, de factoriser encore davantage.
Une fois que tout est factorisé (par exemple quelque chose de la forme , les solutions sont simplements 0,1,d et e.

[invitebbf02352]

Je te remercie pour cette réponse si tardive, j'ai retrouvé le fil conducteur maintenant.

[invitebbf02352]

Est-ce que ça vous semble juste ?

x⁴ - x³ + x² - x = 0
x (x³ - x² + x - 1) = 0
x (x (x² - x + 1) - 1) = 0
x (x (x² - 2 * 1/2x + 1/4 - 1/4 +1) -1) = 0
x [x ( (x - 1/2)² +3/4) -1] = 0
x (x-1) [(x - 1/2)² + 3/4] = 0
x (x - 1) (x - 1/2)² (x - 1) (3/4) = 0
3/4x (x - 1)² (x - 1/2)² = 0

Donc S = {0 ; 1/2 ; 1}


Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

Pas tout à fait.


On remarque d'abord que 0 est solution, d'où la mise en évidence de x. Ensuite, on voit que 1 est solution de , d'où la mise en évidence de (x-1). Le dernier facteur,, est le résultat de la divsion euclidienne de par

Donc les solutions sont 0 et 1.

[invitebbf02352]

J'ai du mal à te suivre... c'est le début de l'année et faut dire qu'on a pas (encore) appris à factoriser des polynômes en utilisant la division euclidienne. Idem pour ce qui semble être pour toi des évidences
Je suis de la vieille école qui aime comprendre en suivant des algorithmes logiques.