Equation différentielle

[invite7dcf27ea]

Bonjour à tous, j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre et j'aimerais bien quelques conseils..

f(x) = e^x est l'unique fonction dérivable sur R telle que phi'=phi et phi(0)=1.
Soit a un réel donné.

a) Montrer que la fonction f définie par f(x) = e^(ax) est solution de l'équation y' = ay

b) Soit g une fonction solution de l'equation y'=ay
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = g(x)e^(-ax). Montrer que la fonction h est constante.

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y'= ay


Pour la a), je trouve :

y'=ay dont les solutions sont y = Ce^(ax)

Si , de plus, on donne la condition initiale phi(0) = 1, on obtient :

Ce^0= 1
C = 1

L'unique solution est donc f(x) = e^(ax) .

Mais après je bloque .. :/. Merci d'avance
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[S321]

Pour la b), comme h est dérivable, elle est constante si sa dérivée est nulle.
Il vous suffit de calculer la dérivée de h et en utilisant l'hypothèse sur g vous devriez trouver sur h'(x)=0.

Ensuite pour la c). La seule hypothèse que vous ayez sur g c'est qu'elle est solution de y'=ay. Donc ce que vous avez démontré pour g c'est vrai pour toutes les solutions de y'=ay, c'est à dire que si on multiplie une solution de y'=ay par e^(-ax) ça donne une constante. Ça devrait vous dire à quoi est égal en général une solution de y'=ay.