équation symétrique du 4ème degré

[invite6ac30562]

Bonjour !

Voilà mon pb, j'ai une équation du 4ème degré que je pensais factoriser pour pouvoir répondre aux questions de l'exercice. Mais ceci n'aboutit à rien !
Pourriez vous m'aider ? Merci d'avance

(E)= x⁴ - 4x³ + 2x² - 4x + 1 = 0

a) vérifier que O n'est pas sol de (E).
Là je ne vois pas comment faire.. Factorisation ? qlq pourrez m'aiguiller ! SVP

b) démontrer que si x₀ est sol de (E) alors 1/x₀ est sol de (E).
Je pense que ça en découle de b) donc :s

c) (E) équivalent à x² - 4x + 2 - 4/x + 1/x² = 0.
J'ai trouvé ici !

d) Développer (x + 1/x)².
Alors pour ça je trouve que c'est = à x². Mais ça ne m'étonnerait pas d'avoir faux tellement c'est un petit calcul. Alors ??

e) en posant X = x + 1/x, démontrer que x² - 4x + 2 - 4/x + 1/x² = 0 est une équation du 2nd degré.

J'attends vos réponses Merci !!
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[cpalperou]

Salut,
pour la première question tu remplaces simplement x par 0 !!! et tu voies que ça ne fait pas 0! donc: 0 n'est pas solution de (E)

[cpalperou]

pour la 2ème, tu remplaces les x par des 1/x0 dans (E), tu mets au même dénominateur et tu devrais trouver la suite toi même!

[invite6ac30562]

Merci pour votre réponse
Je viens de faire le calcul pour la question 2) et je vois ce que ça donne !!
Mais comment je peux l'expliquer ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[cpalperou]

Si tu as bien fait ton calcul en remplaçant x par (1/x0) dans (E) et en faisant l'hypothèse que x₀ est solution de (E), c'est à dire que , tu devrais reconnaitre cette dernière expression dans ton calcul.
Montre moui ce que tu as fait stp.

[invite6ac30562]

tout à fait j'ai fait le calcul ci dessus ; qui me donne:
x₀ ⁴ - 4x₀³ + 2x₀² - 4x₀ + 1 / x₀⁴ = 0.

[invite6ac30562]

Alors est ce que c'est juste ?
Excusez moi mais j'ai besoin d'une réponse **

Merci d'avance !!

[cpalperou]

oui, c'est évident, c'est bon!
et pour le dvlpt de (x+1/x)², c'est pas bon!
utilise l'identité remarquable (a+b)²=a²+b²+2ab avec a=x et b=1/x!
soit (x+1/x)²=x²+(1/x)²+2*x*(1/x)=x²+(1/x)²+2
et enfin, pour la question e), t'as cherché?

[invite6ac30562]

Effectivement, pour le dvlpt de (x+1/x)² je ne savais pas si je devais utiliser l'identité remarquable ! Merci !
Pour la question e) si (x+1/x)² = x² + (1/x)² + 2 :
alors l'équation peut se simplifier en : (x+1/x)² - 4(x+1/x) = 0
et sinon nous posons X = (x+1/x), ça nous donne X² - 4X = 0. Ce qui correspnd bien à une équation du 2nd degré.

C'est juste ?! :S

[cpalperou]

c'est juste! félicitation, t'as fini ton exo!

[invite6ac30562]

Merci pour votre aide !!

mnt je n'ai plus qu'à faire la question f) que je n'avais pas écris ds l'énoncé ^^ qui est de résoudre l'équation du 2nd degré et d'en déduire les solutions de E.