[TS] Vérification DM Raisonnement par récurrence
Bonjour à tous et à toutes!
Voilà, je refais ma petite présentation: je suis étudiant en 2ème année de médecine et je n'ai pas fait de maths niveau terminale depuis 3 ans, cependant je comprends si c'est assez bien expliqué.
Je me suis proposé d'aider quelqu'un en terminale et j'ai un peu de mal.
Donc j'ai un DM à maîtriser sur le bout des doigts si je veux aider le plus efficacement possible. Le problème c'est que c'est de la récurrence et c'était loin d'être mon chapitre préféré.
J'ai déjà posté quelques passages problématiques sur le forum dans des sujets à part, là c'est pour voir ce que ça donne mis bout à bout.
Je l'ai fait sur Word donc c'est beaucoup plus clair à la limite, avec toutes les formules qu'il faut utiliser, il suffit de le charger :
http://pagesperso-orange.fr/apoulet/DM%20de%20maths.doc
J'essaie quand même de mettre ce que j'ai fait sur le forum:
Voici les 2 pages d'énoncé du DM.
La première est plutôt là à titre illustratif (c'est une espèce d'introduction à la récurrence), la 2ème comporte 5 exercices.
http://img40.imageshack.us/img40/3419/img0819ps.jpg
http://img32.imageshack.us/img32/9027/img0823mm.jpg
Exercice 1
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, 4^n + 6 n – 1 est un multiple de 9
(On rappelle que les multiples de 9 sont les entiers qui s’écrivent 9 k avec k entier)
Pour tout entier naturel n, appelons Q(n) la proposition « un = 4^n + 6 n – 1 »
1°) Vérifions que la proposition Q(0) : « u_0 = 4^0 + 6 x 0 – 1 » est un multiple de 9.
u_0 = 1 – 1 = 0 = 9 k avec k = 0. Donc u_0 est bien un multiple de 9.
La proposition Q(0) est vraie.
2°) Supposons que la proposition Q(n) : « u_n = 4^n + 6 n – 1 » est un multiple de 9 pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition Q_(n+1) : « u_(n+1) = 4^n+1 + 6 (n+1) – 1» est multiple de 9
u_(n+1) = 4^n+1 + 6 (n+1) – 1 d’après l’énoncé.
Supposons que 4^n+6n-1 = 9k avec n entier naturel.
On a alors :
4^(n+1) + 6 (n+1) – 1 = 4*4^n + 6n + 6 – 1
= 4*4^n + 6n + 5
Or d'après l'hypothèse de récurrence :
4^n + 6n – 1 = 9k
Donc 4^n = 9k – 6n + 1
On a alors :
4^(n+1)+ 6 (n+1) – 1 = 4 (9k - 6n + 1) + 6n + 5
= 4*9k - 24n + 4 + 6n + 5
= 4*9k - 18n + 9
= 9 (4k – 2n + 1)
La propriété est donc vraie au rang n+1
3°) Conclusion : Pour tout entier naturel n, la proposition Q(n) est vraie ou encore :
Pour tout entier naturel n, u_n = 4^n + 6 n – 1 est un multiple de 9
Exercice 2
Je pense qu'il suffit de s'inspirer de l'exemple de cette page-ci:
http://www.maths-cours.fr/terminale-s/suites/recurrence
Exercice 3
1°) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n (1+x)n ≥ 1 + nx avec x≥0.Soit x un réel positif ou nul.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, (1+x)n ≥ 1 + nx
(1 + x)0 = 1 car 1 + x ≠ 0
1 + 0x = 1
Donc (1+x) 0 ≥ 1 + 0x
La propriété est donc vraie au rang 0
2°) Supposons que (1+x) n ≥ 1 + nx avec n entier naturel
(1 + x)(n+1) = (1 + x) (1 + x)n
On sait d'après l'hypothèse de récurrence que (1 + x)n ≥ 1 + nx
Or comme x ≥ 0, alors 1 + x ≥ 0 donc (1 + x) (1 + x)n ≥ (1 + nx) (1 + x)
(1 + nx) (1 + x) = 1 + x + nx + nx²
= 1 + (n + 1) x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x
Par conséquent (1+x)(n+1) ≥ 1 + (n + 1) x
La propriété est donc vraie au rang n+1
Il en résulte que pour tout entier naturel n (1+x)n ≥ 1 + nx avec x ≥ 0
Exercice 4
1°) Vrai pour un entier ?Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos x.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier n, f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
(On rappelle que f(^n) désigne la fonction dérivée nième de la fonction f et que la dérivée 0ième de la fonction f est la fonction f : f(^0) = f )
Pour n = 0
f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
f(^0)(x) = cos (x+0π/2)
f(^0)(x) = cos (x)
Pour tout entier naturel n, appelons S(n) la proposition f(^n)(x) = cos (x+nπ/2)
1°) Vérifions que la proposition S(0) : f(^n)(x) = cos (x+nπ/2) est vraie.
S(^0) = cos x d’après l’énoncé ; f(^0)(x) = cos (x+0π/2) donc f(^0)(x) = cos (x)
La proposition S(0) est vraie.
2°) Supposons que la proposition S(^n) : « f(n)(x) = cos (x+nπ/2)» est vraie pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition f^(n+1)(x) = cos (x+(n+1) π/2) est vraie.
- D'une part on sait que la dérivée du cosinus est égale au sinus négatif : cos’ (x) = - sin (x)
- D'autre part,
Donc la dérivée du cosinus est égale au cosinus de (x + pi/2) : cos’ (x) = cos (x+π/2)
3°) Conclusion : Pour tout entier naturel n, la proposition P(n) est vraie ou encore :
Pour tout entier naturel n, u_n = 2n+2 – 3
Exercice 5 (facultatif)
Définition
Je pense qu'il faut partir de là:Une fonction f définie sur un intervalle I est dite de classe C1 sur I si elle est dérivable sur I et si sa fonction dérivée f’ est continue sur I
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; + ∞[ par : f(x)= 6x√x– 3x^2- 2x
La fonction f est elle de classe C1 sur [0 ; + ∞[ ? Justifier
Après absolument aucune idée.
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Envoyé par Alegs 
