Devoir sur études de fontions exponentielles

[fiatlux]

Oui c'est tout à fait ça
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[invitea97b4264]

ok jai compris pour le a jai commencé le calcul des limites :

lim f_n(x) = 0 quand x tend vers +00 car lim e^nx + e^(n-1)x = +00

C'est correct ?

je ne sais pas comment étudier la limite de e^(n-1)x ! :S

[invitea97b4264]

jai étudié lim e^(n-1)x de cette manière :

lim eⁿ = n et lim e^-x = 0 donc lim e^(n-1)x = n mais ca me semble incorrect :S

[fiatlux]

c'est comme la limite de sauf que c'est n-1
Etudier la limite de , c'est comme étudier celle de ou de ou de (pour autant que et tu sais que c'est le cas.

[invitea97b4264]

c'est comme la limite de sauf que c'est n-1
Etudier la limite de , c'est comme étudier celle de ou de ou de (pour autant que et tu sais que c'est le cas.

Donc lim e^(n-1)x = +00 ?

[fiatlux]

quand x tend vers l'infini, oui. Sinon, vers moins l'infini c'est 0.

[fiatlux]

Rappelle-toi que:

donc
et n-1 est toujours plus grand ou égal à 1.

EDIT: j'ai posté un message à la page précédente au cas ou tu l'as pas vu étant donné le changement de page.

[invitea97b4264]

daccord donc pour la limite de fn en -00

lim f_n(x) = ? quand x tend vers -00
lim e^nx + e^(n-1)x = 0

Comment trouver cette limite car 1/0 est impossible!

[fiatlux]

1/0 c'est impossible, mais limite lorsque x tend vers 0 de 1/x c'est tout à fait possible. C'est justement la nuance super importante avec les limite. La limite tend vers 0 mais ne vaut pas 0. Donc la limite quand x tend vers moins infini, ça tend vers l'infini.
Si tu veux écrire ça (et je précise que c'est mathématiquement complètement faux de l'écrire et qu'il ne faut surtout pas l'écrire et que je ne sais pas pourquoi je te l'écris quand même) :
1/0 = infini.

[invitea97b4264]

daccord merci pour l'information je ferais attention la prochaine fois
pour la dérivée de fn(x) je trouve :

f_n'(x) = (-nxe^nx + (n-1)xe^(n-1)x) / (e^nx + e^(n-1)x)²)

Cette dérivée est-elle simplifiable ?

[invitea97b4264]

daccord merci pour l'information je ferais attention la prochaine fois
pour la dérivée de fn(x) je trouve :

f_n'(x) = (-nxe^nx + (n-1)xe^(n-1)x) / (e^nx + e^(n-1)x)²)

Cette dérivée est-elle simplifiable ?

jai oublié en develloppant :
fn'(x) = (-nxe^nx + nxe^(n-1)x - xe^(n-1)x) / (e^nx + e^(n-1)x)²

Comment simplifier cette écriture ?

[fiatlux]

la dérivée de c'est et non , de la même manière que la dérivée de c'est et non

[invitea97b4264]

dac ^^ donc ma dérivée sera :

f_n'(x) = (-ne^nx + ne^(n-1)x - e^(n-1)x) / (e^nx + e^(n-1)x)²

et comment la simplifier ?

[fiatlux]

Attention le signe moins s'applique sur tout le numérateur, pas seulement sur son premier terme.
A part ça tu ne peux pas la simplifier énormément. Tu peux éventuellement mettre en évidence (le mettre en facteur) au numérateur (rappelle toi que

[invitea97b4264]

ok donc pour trouver le signe de la fonction on cherche celui du numérateur -ne^nx - ne^(n-1)x + e^(n-1)x

Mais comment fais t-on ?

[fiatlux]

si tu ne développes pas complètement ton numérateur comme tu l'as fait, tu vois que le numérateur est égal à
C'est donc une somme d'exponentielles positives (puisque n plus grand ou égal à 2) et le signe moins devant inversera simplement le signe du résultat. Donc ton numérateur (sans le signe moins) est toujours positif, donc avec le signe il est toujours négatif, donc la fonction est strictement décroissante.

[invitea97b4264]

merci beaucoup pour ton aide je sais pas ce que j'aurais fais sans toi ^^
je pense que je vais me débrouiller seule maintenant
a bientot ^^

[fiatlux]

pas de problème, a+