Devoir sur études de fontions exponentielles

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Pour ceux qui m'ont aidé dans la discussion "Devoir sur suites numériques", je publie ici la deuxième partie de mon devoir que je n'arrives pas a terminer :S Bien sur toutes les aides sont les bienvenues!
Voici l'énoncé :

Soit n un entier naturel. On note f_n la fonction définie sur R par
f_n(x) = (e^-nx) / (1+e^-x)
On note C_n la courbe représentative de f_n dans un repère orthogonal (O;i,j).

Etude de la fonction f₀ :

a. Etudier le sens de variation de la fonction f₀.
b. Préciser les limites de la fonction f₀ en -00 et +00 puis interpreter graphiquement ces limites.
c. Dresser le tableau de variation de f₀ sur R.
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[invitea97b4264]

pour la question a, il faut étudier le signe de la dérivée de f_n'(x) ou de f₀'(x)?

[fiatlux]

salut

pour le a), c'est le signe de la dérivée de f0 qu'il faut étudier.

pour les limites, rappelle-toi simplement que la limite de vers -infini tend vers 0, tandis qu'elle tend vers +infini quand x tend vers +infini.

c) sers-toi des résultats de a) et b)

[invitea97b4264]

alors j'ai trouvé les résultats suivants :
f₀(x) = 1 / (1+e^-x)
donc f₀'(x) = - [(u'(x)) / (u(x))²]
= - [(-e^-x) / (1+e^-x)²]

Ma dérivée est-elle correcte ?

Ensuite pour étudier le signe je sais que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R donc signe positif ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[fiatlux]

oui ta dérivée est juste (tu peux encore annuler les 2 signes moins).

Et effectivement comme tu as un carré au dénominateur, donc toujours positif, les variations de ta fonctions dépendent de ton numérateur. Mais attention c'est l'exponentielle qui est croissante sur R. En revanche c'est l'inverse (décroissante sur R).

[invitea97b4264]

si ma dérivée est correcte je pense aussi qu'elle peut etre simplifiée ce qui donne f₀'(x) = e^-x / (1+e^-x)²

De cette manière on peut plus facilement étudier son signe :
puisque un carré est strictement positif, le signe de f₀'(x) dépend de -e^-x !
C'est correct ?

[invitea97b4264]

oui ta dérivée est juste (tu peux encore annuler les 2 signes moins).

Et effectivement comme tu as un carré au dénominateur, donc toujours positif, les variations de ta fonctions dépendent de ton numérateur. Mais attention c'est l'exponentielle qui est croissante sur R. En revanche c'est l'inverse (décroissante sur R).

oui donc e^-x = 1 / e^x => la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc f₀'(x) est positive sur R.

Ainsi on en déduite que f₀(x) est croissante.

C'est cela ?

[fiatlux]

Oui, c'est cela

[invitea97b4264]

ok merci ^^ maintenant pour la question b jai trouvé :

f0(x) = 1 / 1+e-x donc :

lim f0(x) = +00 quand x tend vers +00 car lim 1+e-x = +00 et lim 1 = 1

lim f0(x) = 1 quand x tend vers -00 car lim 1+e-x = 1 (lim e-x = 0 et lim 1 =1)

Mais graphiquement cela n'est pas correct :S

[fiatlux]

Mais graphiquement cela n'est pas correct :S

logique car c'est faux . Relis bien ce que j'ai noté dans mon premier message ! Ici on a l'exponentielle négative, pas l'exponentielle positive.

EDIT : oh mon dieu c'est moi qui ai écrit n'importe quoi dans mon premier message mille excuses, c'est l'inverse ^^

Donc lim quand x tend vers -infini de est infini, et lim quand x tend vers infini ça donne 0

Donc dans ton cas la limite en +infini donne 1 et celle en -infini donne 0

[invitea97b4264]

ok merci ^^ maintenant pour la question b jai trouvé :

f0(x) = 1 / 1+e-x donc :

lim f0(x) = +00 quand x tend vers +00 car lim 1+e-x = +00 et lim 1 = 1

lim f0(x) = 1 quand x tend vers -00 car lim 1+e-x = 1 (lim e-x = 0 et lim 1 =1)

Mais graphiquement cela n'est pas correct :S

désolée pour les indices et exposants mais ils ne marchent plus dans le mode avancé :S

[invitea97b4264]

logique car c'est faux . Relis bien ce que j'ai noté dans mon premier message ! Ici on a l'exponentielle négative, pas l'exponentielle positive.

EDIT : oh mon dieu c'est moi qui ai écrit n'importe quoi dans mon premier message mille excuses, c'est l'inverse ^^

Donc lim quand x tend vers -infini de est infini, et lim quand x tend vers infini ça donne 0

Donc dans ton cas la limite en +infini donne 1 et celle en -infini donne 0

ok XD je comprends mieux maintenant

[invitea97b4264]

Donc lim quand x tend vers -infini de est infini, et lim quand x tend vers infini ça donne 0

Donc dans ton cas la limite en +infini donne 1 et celle en -infini donne 0

Je ne suis pas d'accord avec les réponses que tu donnes pour "dans mon cas".

Je trouves :

lim f0(x) = +00 quand x tend vers -00 car lim e-x = +00
lim 1 = 1
Donc on a bien lim 1+e-x = +00 quand x tend vers -00 ??

en revanche pour lim f0(x) = 1 je suis d'accord ^^

[invitea97b4264]

portant graphiquement tu as raison jai encore du me trompé dans mon raisonnement mais je ne vois pas ou ! :S

[fiatlux]

c'est le dénominateur qui tend vers l'infini, donc comme le numérateur est fini (il vaut 1) ça fait 1/infini et donc ça fait 0.

[invitea97b4264]

jai compris jai oublié de faire le quotient des limites je crois ! qu'en penses tu ?

[invitea97b4264]

c'est le dénominateur qui tend vers l'infini, donc comme le numérateur est fini (il vaut 1) ça fait 1/infini et donc ça fait 0.

oui voila ^^ merci.
Et qu'est ce qu'on attend de moi pour la question interpreter graphiquement ces limites ? La réponse parrait évidente c'est pour ca que je te demandes

[invitea97b4264]

oui voila ^^ merci.
Et qu'est ce qu'on attend de moi pour la question interpreter graphiquement ces limites ? La réponse parrait évidente c'est pour ca que je te demandes

Si je mets, quand x tend vers +00, f0(x) est égal à 1 et quand x tend vers -00, f0(x) est égal à 0, c'est correct ?

[fiatlux]

Si je mets, quand x tend vers +00, f0(x) est égal à 1 et quand x tend vers -00, f0(x) est égal à 0, c'est correct ?

On dirait plus que ça tend vers 1 (ou 0). Disons que dire ça c'est juste, mais ce n'est pas une interpération graphique
Mais à part ça c'est vrai qu'il n'y a pas grand chose à dire ^^ si ce n'est pas exemple que, comme la fonction est strictement croissante et qu'elle va de 0 à 1, alors le domaine des images de cette fonction est borné sur ]0;1[ (autrement dit quel que soit x, on a 0<f(x)<1)

[invitea97b4264]

ok merci ^^

Voici la suite de mon devoir :

Etude de la fonction f₁

a. Démontrer que pour tout réel x, f₁(x) = f₀(-x) = 1/ (e^x+1)
b. En déduire les limites de f₁ en -00 et +00 ainsi que son sens de variation.

[invitea97b4264]

jai trouvé que f₀(-x) = 1/ (e^x +1)
pour f₁(x) je trouve f₁(x) = e^-x / (1+e^-x)

Comment simplifier l'écriture de f₁ pour trouver f₁(x) = 1/ (e^x+1) ?

[fiatlux]

Divise en haut et en bas par

[invite7b8d59f8]

escuser moi mais pouver vous me dire comment valider mes pieces jointes

[fiatlux]

ce n'est pas à toi de les valider, il faut attendre qu'un modérateur les valide.

[invitea97b4264]

ok merci ensuite pour les limites :

lim f₁(x) = 0 quand x tend vers +00 car lim e^x+1 = +00.
lim f₁(x) = 1 quand x tend vers -00 car lim e^x+1 = 1

C'est correct ?

[fiatlux]

Oui, et c'est justement ce à quoi on pouvait s'attendre (c'est d'ailleurs pour ça que la donnée c'est "en déduire" et non "calculer"). On a montrer que f1(x)=f0(-x), donc les limites sont inversées également.

[invitea97b4264]

ok bon je vais me debrouiller pour le reste de cette question en revanche je bloque encore sur la dernière partie dont voici l'énoncé :

Etude de la fonction f_n pour n>ou égal à 2

a. Vérifier que pour tout n>ou= à 2 et pour tout réel x on a
f_n(x) = 1/ (e^nx+ e^(n-1)x)
b. Etudier les limites de f_n en -00 et +00
c. Calculer la dérivée f_n'(x) et dresser le tableau de variations de f_n sur R.

[invitea97b4264]

pour cette étude la si tu pouvais me donner des pistes je bloque completement

[fiatlux]

pour le a) c'est la meme astuce que tout à l'heure: multiplie en haut et en bas par
le b) et la dérivée ce n'est pas beaucoup plus compliquée que pour f0.

[invitea97b4264]

ok jai compris pour le a jai commencé le calcul des limites :

lim f_n(x) = 0 quand x tend vers +00 car lim e^nx + e^(n-1)x = +00

C'est correct ?