math spé : les congruences

[theguitarist]

Bonjour !!

comme le titre l'indique , l'objet de ma question porte sur les congruences,
il faut montrer que si a est un entier naturel non divisible par 7, alors :

a^6 est congru à 1 mod 7

Comme je suis pas très doué en congruences, j'ai juste réussi à dire que comme a est non divisible par 7 alors il existe un entier naturel p tel que:

a = 7p+1
a = 7p+2
a = 7p+3
a = 7p+4
a = 7p+5
a = 7p+6

par conséquent on devrait étudier chaque cas :
((7p+1)^6) / 7
....
((7p+6)^6) / 7

et montrer que pour chaque cas, le reste de la division euclidienne de a par 7 vaut 1...mais la je sais pas du tout comment m'y prendre :s

Merci d'avance à tout ceux qui peuvent m'aider
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[invite13297068]

Tu peux faire un tableau de ce style :

Tableaux de congruences modulo 7

a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
a^6 | | | | | | |

Et tu verras a non divisible par 7 <=> a^6 congru à 1 [7]

[theguitarist]

haaa ok j'ai compris je me suis sans doute cassé la tête pour rien !

ca veut dire par exemple que si 1^6 est congru a 1 mod 7 ( oui celui la c'est logique ^^ ) ben que a chaque fois, (7p+1)^6 sera congru à 1 mod 7 ? et pareil pour 2^6 ...ect ?

[invite13297068]

Voilà.
Tu avais la bonne méthode, c'est juste que si tu prenais 7p+1, tu devais détailler les calculs etc, alors que là, tu as juste à mettre à la puissance 6 et à ajuster.
Par exemple, 2^6 = 64 = 63 +1 = 7*9 + 1, donc congru à 1 [7]
Et on fait pareil pour la suite

[A voir en vidéo sur Futura]

[theguitarist]

okayy merci beaucoup !!

j'ai juste une autre question...c'est que maintenant que l'on sait que a^6 est congru à 1 mod 7, on désigne k la plus petite valeure(entière) non nulle telle que a^k congru à1 mod 7

donc en gros k <= 6

seulement faut montrer que le reste r de la division de 6 par k vérifie a^r congru à 1 mod 7

c'est la galère :s

tu pourrais m'aider :s ? ou quelqun d'autre ?