Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 3 sur 3

Inégalité de bernouilli II



  1. #1
    mentosfraise

    Inégalité de bernouilli II


    ------

    bonjour à tous . je dois résoudre cet exercice mais je ne vois pas comment y parvenir , j'ai eu quelques renseignements mais je bloque toujours .
    j'ai compris qu'il fallait que je ontre que l'équation de la tangente est (1+nx) mais je ne vois pas comment y arriver .

    pouvez vous m'aider ?
    énoncé : on se propose dans cet exercice de démontrer l'inégalité de bernouilli : quelquesoit x appartenant à R+ et quelquesoit n appartenant à N , (1+x)^n>ou=à1+nx
    soit n appartenant à N/(1) et soit fn la fonction définie sur R+ par fn(x)=(1+nx)^n

    questions : 1)déterminer l'équation de la tangente (Tn) à la courbe (Cn) représentant fn au point d'abscisse 0
    2)soit gn la fonction affine représentée par (Tn) , déterminer le signe de fn-gn sur R+
    3)en déduire l'inégalité recherchée


    j'ai essayé de prouver que gn=1+nx pour la première question mais j'arrive systématiquement au résultat suivant:

    y=fn(0)' (x-0)+fn(0)
    y=( n * (1+x)^(n-1) *x ) + 1^n

    comment résoudre la suite de ce problème ? merci d'avance !

    -----

  2. #2
    Elohir

    Re : inégalité de bernouilli II

    Salut,

    Je crois que tu t'es planté dans tes dérivées: gn(x)=x.n^2 + 1

    Poour la deuxième question du dérive fn-gn de manière à obtenir le sens de variation de cette fonction (cce sur R+) or (fn-gn)(0)=0
    d'où fn-gn est positive ou nulle.

    Pour la dernière question j'ai pas envie de chercher, surtout que tu dois déjà avoir le corrigé!...

  3. #3
    Cherchell

    Re : inégalité de bernouilli II

    Dans ton énoncé, il y a une erreur :
    fn(x) = n
    Ton problème est que tu as appliqué la formule de la tangente sans remplacer x par 0 dans f'(x)

    1)déterminer l'équation de la tangente (Tn) à la courbe (Cn) représentant fn au point d'abscisse 0
    f'n(x) = n * n (1 + n x)n-1 donc f'n(0) = n
    f(0) = 1 donc l'équation de la tangente est y = n x + 1

    2)soit gn la fonction affine représentée par (Tn) , déterminer le signe de fn-gn sur R+
    fn(x) - gn(x) = hn(x)
    h'n(x) = n (1 + x)n-1 - n

    h'n(x) = n [(1 + x)n-1 - 1]
    x est positif et n - 1 aussi donc (1 + x) >= 1 donc (1 + x)n-1 >= 1 donc h'n(x) >= 0
    h est croissante sur R+ or h(0) = 0 donc pour tout x de R+, hn(x) >= 0 donc fn(x) - gn(x) > = 0
    d'où la position relative demandée

    3)en déduire l'inégalité recherchée
    fn(x) - gn(x) >= 0 sur R+ donc quelque soit x appartenant à R+ et quelque soit n appartenant à N , (1 + x)n >= 1 + n x

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. inégalité de bernouilli
    Par mentosfraise dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 04/11/2009, 18h39
  2. inégalité de bernouilli
    Par mentosfraise dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 01/11/2009, 20h55
  3. Bernouilli
    Par roger44 dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 25/03/2009, 21h10
  4. inégalité de bernouilli
    Par 4444 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 21/12/2006, 22h31
  5. Bernouilli
    Par Lio22 dans le forum Physique
    Réponses: 5
    Dernier message: 18/12/2004, 17h46