Inégalité de bernouilli II

[invite26c51c47]

bonjour à tous . je dois résoudre cet exercice mais je ne vois pas comment y parvenir , j'ai eu quelques renseignements mais je bloque toujours .
j'ai compris qu'il fallait que je ontre que l'équation de la tangente est (1+nx) mais je ne vois pas comment y arriver .

pouvez vous m'aider ?
énoncé : on se propose dans cet exercice de démontrer l'inégalité de bernouilli : quelquesoit x appartenant à R+ et quelquesoit n appartenant à N , (1+x)^n>ou=à1+nx
soit n appartenant à N/(1) et soit fn la fonction définie sur R+ par fn(x)=(1+nx)^n

questions : 1)déterminer l'équation de la tangente (Tn) à la courbe (Cn) représentant fn au point d'abscisse 0
2)soit gn la fonction affine représentée par (Tn) , déterminer le signe de fn-gn sur R+
3)en déduire l'inégalité recherchée


j'ai essayé de prouver que gn=1+nx pour la première question mais j'arrive systématiquement au résultat suivant:

y=fn(0)' (x-0)+fn(0)
y=( n * (1+x)^(n-1) *x ) + 1^n

comment résoudre la suite de ce problème ? merci d'avance !
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[invite84430f26]

Salut,

Je crois que tu t'es planté dans tes dérivées: gn(x)=x.n^2 + 1

Poour la deuxième question du dérive fn-gn de manière à obtenir le sens de variation de cette fonction (cce sur R+) or (fn-gn)(0)=0
d'où fn-gn est positive ou nulle.

Pour la dernière question j'ai pas envie de chercher, surtout que tu dois déjà avoir le corrigé!...

[inviteb9469e86]

Dans ton énoncé, il y a une erreur :
f_n(x) = n
Ton problème est que tu as appliqué la formule de la tangente sans remplacer x par 0 dans f'(x)

1)déterminer l'équation de la tangente (Tn) à la courbe (Cn) représentant fn au point d'abscisse 0
f'_n(x) = n * n (1 + n x)^n-1 donc f'_n(0) = n
f(0) = 1 donc l'équation de la tangente est y = n x + 1

2)soit gn la fonction affine représentée par (Tn) , déterminer le signe de fn-gn sur R+
f_n(x) - g_n(x) = h_n(x)
h'_n(x) = n (1 + x)^n-1 - n

h'_n(x) = n [(1 + x)^n-1 - 1]
x est positif et n - 1 aussi donc (1 + x) >= 1 donc (1 + x)^n-1 >= 1 donc h'_n(x) >= 0
h est croissante sur R+ or h(0) = 0 donc pour tout x de R+, h_n(x) >= 0 donc f_n(x) - g_n(x) > = 0
d'où la position relative demandée

3)en déduire l'inégalité recherchée
f_n(x) - g_n(x) >= 0 sur R+ donc quelque soit x appartenant à R+ et quelque soit n appartenant à N , (1 + x)ⁿ >= 1 + n x