Maths TS loi logistique continue

[invitec1ff87b9]

Bonsoir !

j'aurais besoin de quelques indications pour finir un DM. Il porte sur le modèle de Verhulst.
Dans une 1ère partie, j'ai déterminé les solutions d'une équation différentielle : y'=ay(1-y).
Les solutions sont de la forme 1/(ke^(-ax)+1).

J'ai par la suite une application : J'ai une population qui s'accroit suivant la loi dP(t)/p(t) = 0.03P(t). Avec t le temps en année et P(t) la population à l'année t.
1- Je dois trouver le temps nécessaire pour le doublement de la population.
2- On suppose qu'à t=0, des prédateurs tuent la population au rythme de 0.0001 P(t)² par an. Je dois trouver l'équation différentielle vérifiée par P, la résoudre.

Si vous pouviez m'indiquer comment procéder, je ne vois absolument pas, pour moi il manque des données.
Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

dP/dt résulte de la somme de 2 phénomènes :
- un accroissement naturel dP/dt = 0,03 P
- une perte due au prédateur : dP/dt = - 0,0001 P²
Donc dP/dt est la somme de ces grandeurs et tu retrouves exactement l'équation d'avant. Seules les notations ont changé.

[invitec1ff87b9]

Merci pour ta réponse.

Donc dP/P est équivalent à dP/dt ? Dans ce cas, je comprends mieux, même si je bloque encore.

On aurait donc dP/dt = 0.03P - 0.0001P²
On peut factoriser par P, seulement, on ne retrouve pas le "a" de l'expression littérale.
C'est ça que je ne comprends pas.

Et comment faire pour la 1ère question ?

[invitec1ff87b9]

Si je considère que dP/dt =0.03 P.
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions de la forme ke^(0.03t).
Donc je peux calculer P0 = k
Moi je cherche le temps pour le double de la population, donc 2P, et je peux écrire que 2P0=ke^(0.03t').
<=> 2k=ke^(0.03t')
<=> 2=e^(0.03t')
<=> ln2=0.03t'
<=> ln2/0.03=t'

Ce qui fait 23 ans environ. C'est bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

oui, c'est bon. Remarque que tu n'as même pas besoin de savoir que P0=k pour trouver le temps de "double-vie". Et dP/P ne veut rien dire, coquille d'énoncé à mon avis, c'est bien dP/dt (la dérivée de P p.r.au temps).

23 ans ... le meilleur âge

[invitec1ff87b9]

Comment ferais tu pour déterminer le temps de double vie sans P0 ?

[invite00970985]

Fait attention à ne pas employer le temps de "double-vie" dans ta copie, je n'ai jamais vu ce terme nul part, juste une analogie avec la demi-vie.

Pour le problème, tu sais que P(t) = k.exp(0.03t)
Et tu cherches t tel que : 2P(0)=k.exp(0.03t)
Or 2.P(0)=k.exp(0.03*0) = 2.k ... et tu continues

C'était pour te faire remarquer que quelque soit la quantité initiale, le temps nécessaire pour doubler cette quantité est toujours le même ; donc tu n'as pas besoin de connaître P0 (d'ailleurs, ça se voit très bien dans la formule que tu as trouvé !).