Fonction par rapport à un triangle

[invitedc460936]

Bonjour,

J'aimerai que vous me corrigiez cet exercice qui un complexe pour moi.

énoncé: ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm et I est le milieu du segment [AB].
M est point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM=NB.
Q est le point du segment [BC] et P le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle.

On note f la fonction qui a x=AM(en cm) associe l'aire, en cm², du rectangle MNQP.

Questions:
a) Quel est l'ensemble de défintion de f ?
b) Exprimer MN, puis MP en fonction de x.
Ebn déduire l'expression algébrique de f(x).
c) Calculer f(3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[:
f(x)-f(3)=-2(racine carré)3 * (x-3)²
d) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[.
e) Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale?

Réponses émises:
a) f(x)=x²
f(x)=AM*MNQP

b) On sait que M milieu de AI et que AM=AB donc je suppose que N milieu de IB alors j'en déuis encore ke I est le mileu de AB Donc
MI=IN
Ab=12cm
AI=6cm
AM=3cm
MN=6cm

f(x)=2x².

pour MP, je ne vois pas du tout.

f(x)=x²

c)f(3)=3²
f(3)=9.

f(x)-f(3)=-2(racine carré) de 3 *(x-3)²

f(x)-f(3)= x²-3²
f(x)-f(3)= (x-3)(x+3)

pour x=0:
f(0)-f(3)= 0²-3²
= 9

Désolé mais là je suis troublé....

d)il faut réussir la question précedente pour y répondre
e)MNQP=MN*PM
= 6*PM
Mais aussi il faut cherhcer PM

Voilà désolé mais je suis vraiment nul !
-----

[invite64e915d8]

a) Je crois qu'on te demande quelle(s) valeur(s) peut prendre x.
b) Tu dois avoir une relation entre MN et x, ainsi qu'une relation entre MP et x.
c) Il faut que tu exprimes l'aire du rectangle MNQP en fonction de x. Quand tu auras réussi, remplace x par 3 et fais une application numérique.
d) As-tu vu les fonctions dérivées ?
e) Question de recherche... pas compliquée si tu fais un dessin (impératif lorsque tu fais de la géométrie).

[invitedc460936]

a) c'est-à dire que x=3²
donc x=9 ?

[invite64e915d8]

Non pas du tout

Sais tu ce qu'est une fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedc460936]

oui j'en connais 3

focntion affine f(x)=ax+b
focntion linéaire f(x)=ax
fonction carré f(x)= x²

et ce que je venais de faire c'était la fonction carré sauf que jai oublié de mattre f(x) donc ca change tout .

[invitedc460936]

Donc pour la a,
ce serait f est défini sur [0;6]

[invite64e915d8]

Commencons par le commencement...

Premièrement, trace une belle figure au propre sur une feuille blance dans laquelle tu placeras tous les points A, B, C, M, N, P, Q.

Normalement tu devrais clairement voir toutes les valeurs que peut prendre x sachant qu'il ne peut pas dépasser une certaine limite.

Or ta fonction f est une fonction de x. Donc ta fonction est définie sur l'intervalle qui contient toutes les valeurs que peut prendre x.

EDIT : oui tout à fait je n'avais pas vu ton dernier post

[invite64e915d8]

Il faut maintenant que places les points P et Q et que tu les relies à x.

Tu auras besoin du théorème de Thalès. Tu le connais ?

[invitedc460936]

rebonjour,

j'ai fais la figure j'arrive à voir toutes les valeurs.

a) f est défini sur [0;6[
b)AM=NB=x
Donc si I est le milieu de AB alors il doit forcément être le milieu de MN.
f(x)=MI+IN

[invitedc460936]

rebonjour,

j'ai fais la figure j'arrive à voir toutes les valeurs.

a) f est défini sur [0;6[
b)AM=NB=x
Donc si I est le milieu de AB alors il doit forcément être le milieu de MN.
f(x)=MI+IN
f(x)=3+3
f(x)=6

Pour MP
Dabns ltriangle APM rectangle en M, j'applique le théorème de pythagore
AP²=PM²+AM²
(AC/2)²=MP²+x²
(12/2)²=MP²+x²
6²=MP²+x²
MP²=6²-x²

[invitedc460936]

re-bonjour,

pour la a), j'hésite vraiment pour l'intervalle [0;6[

b)Là je vais démontrer MP en fonction de x:
la hauteur (CI) coupe le segment [AB] en son milieu d'où (Ci) médiatrice de [AB] et le rectangle MNPQ est inscriptible dans le triangle équilatéral ABC [MP] perpendiculaire à [AB] d'où P appartient à [AC], Q poitn de [BC] et I milieu [AB]

or si 2 droites coupent perpendiculairement une droite alors elles sont parallèles entre elles

Donc MP et CI sont perpendiculaires à AB.
D'où MP parallèle CI.

Les droites AC et AB sont sécantes en A.
Les droites MP et CI sont parallèles .
d'apès le théorème de Thalès

AP/AC= AM/AI= MP/CI.

cOMME CI est la médiatrice de AB
Dans le triangle ACI rectangle en I, j'applique le théorème de pythagore:
AC²=AI²+CI²
12²=(12/2)²+CI²
144=36+CI²
CI²=144-36
CI²=108
CI=108
CI=63

AP/12=x/6=MP/63
MP=x*63/6
MP=x3

Pour MN je ne c'est pas si c'est juste)
AM=NB=x
Donc si I est le milieu de AB alors il doit forcément être le milieu de MN.
f(x)=MI+IN
f(x)=3+3
f(x)=6

Pour la c je sais qu'il faut exprimer l'aire du rectangle MNQP en fonction de x. Quand j'aurai réussi, je remplacerai x par 3 et fais une application numérique.

j'ai vraiment besoin de votre aide !

[invitedc460936]

f(x)-f(3)=-2(racine carré)3 * (x-3)²

Comment on fait pour calculer cela ?

[invitedc460936]

aidez moi svp !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[invitedc460936]

pour la a j'écris,
ce serait f est défini sur [0;6]
si x=6
AM=NB=6cm

Or AB=12cm
AB=AM+MN+NM
AB=6+MN+6
Donc MN=0alors les points M et N sont confondus.
Donc x peut prendre la valeur de 6.

b) On sait que AM = NB = x !
car si M est point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM = NB
Donc MN= AB-(AM+NB)
MN=12-(x+x)
MN = 12 - (x + x) = 12 - 2x.

Là je vais démontrer MP en fonction de x:
la hauteur (CI) coupe le segment [AB] en son milieu d'où (Ci) médiatrice de [AB] et le rectangle MNPQ est inscriptible dans le triangle équilatéral ABC [MP] perpendiculaire à [AB] d'où P appartient à [AC], Q poitn de [BC] et I milieu [AB]

or si 2 droites coupent perpendiculairement une droite alors elles sont parallèles entre elles

Donc MP et CI sont perpendiculaires à AB.
D'où MP parallèle CI.

Les droites AC et AB sont sécantes en A.
Les droites MP et CI sont parallèles .
d'apès le théorème de Thalès

AP/AC= AM/AI= MP/CI.

cOMME CI est la médiatrice de AB
Dans le triangle ACI rectangle en I, j'applique le théorème de pythagore:
AC²=AI²+CI²
12²=(12/2)²+CI²
144=36+CI²
CI²=144-36
CI²=108
CI=108
CI=63

AP/12=x/6=MP/63
MP=x*63/6
MP=x3

MN = 12 - 2x
MP = x√3
Donc MN*MP = (12 - 2x) * x√3 = x (12 - 2x) * √3
= x(1 - x)*2V3.

c) f(x) = MN*MP = x(6 - x)*2V3.

ensuite pour calculer f(3) il faut faire
f(3)=3(6-3)*23
f(3)=183

d) d'après c), on a f(x) - f(3) = - 2V3(x - 3)², c'est-à-dire

f(x) = f(3) - 2V3(x - 3)².
Ainsi, f(x) est inférieur à f(3) de la quantité toujours positive 2V3(x - 3)².
f(x) sera donc à son maximum quand cette quantité sera nulle.

et pour la e) on fait MN*MP
mais cela revient à faire x(6 - x)*2V3.
d'où 12xV3-2x²V3

qu'en dites-vous ?

[invite7bfc68ef]

pour la a j'écris,
ce serait f est défini sur [0;6]
si x=6
AM=NB=6cm

Or AB=12cm
AB=AM+MN+NM
AB=6+MN+6
Donc MN=0alors les points M et N sont confondus.
Donc x peut prendre la valeur de 6.

b) On sait que AM = NB = x !
car si M est point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM = NB
Donc MN= AB-(AM+NB)
MN=12-(x+x)
MN = 12 - (x + x) = 12 - 2x.

Là je vais démontrer MP en fonction de x:
la hauteur (CI) coupe le segment [AB] en son milieu d'où (Ci) médiatrice de [AB] et le rectangle MNPQ est inscriptible dans le triangle équilatéral ABC [MP] perpendiculaire à [AB] d'où P appartient à [AC], Q poitn de [BC] et I milieu [AB]

or si 2 droites coupent perpendiculairement une droite alors elles sont parallèles entre elles

Donc MP et CI sont perpendiculaires à AB.
D'où MP parallèle CI.

Les droites AC et AB sont sécantes en A.
Les droites MP et CI sont parallèles .
d'apès le théorème de Thalès

AP/AC= AM/AI= MP/CI.

cOMME CI est la médiatrice de AB
Dans le triangle ACI rectangle en I, j'applique le théorème de pythagore:
AC²=AI²+CI²
12²=(12/2)²+CI²
144=36+CI²
CI²=144-36
CI²=108
CI=108
CI=63

AP/12=x/6=MP/63
MP=x*63/6
MP=x3

MN = 12 - 2x
MP = x√3
Donc MN*MP = (12 - 2x) * x√3 = x (12 - 2x) * √3
= x(1 - x)*2V3.

c) f(x) = MN*MP = x(6 - x)*2V3.

ensuite pour calculer f(3) il faut faire
f(3)=3(6-3)*23
f(3)=183

d) d'après c), on a f(x) - f(3) = - 2V3(x - 3)², c'est-à-dire

f(x) = f(3) - 2V3(x - 3)².
Ainsi, f(x) est inférieur à f(3) de la quantité toujours positive 2V3(x - 3)².
f(x) sera donc à son maximum quand cette quantité sera nulle.

et pour la e) on fait MN*MP
mais cela revient à faire x(6 - x)*2V3.
d'où 12xV3-2x²V3

qu'en dites-vous ?

bonjour
MN c'est bon c'est 12-2x ; mais MP non c'est pas thales , mais phytagore ; PC=MN=PQ donc AP=12-(12-2x) soit 2x ; donc MP avec pythagore c'est racine de 3x²et non xracine 3 ; l'aire du rectangle est (12-2x)racine 3x² ; pour la suite , tu fais tout seul ; bonne année

[invitedc460936]

bonjour,

eh bien je pense que vous m'enduisez en erreur.

Votre correction est totalement fausse!

ABC est équilatéral et I est le milieu de [AB] donc (CI) est la médiatrice de [AB] et par suite (CI) \perp [AB].
MNPQ est un rectangle donc [MN] \perp [PM] soit [PM] \perp [AB]
or si 2 droites coupent perpendiculairement une droite alors elles sont parallèles entre elles

donc (MP) parallèle (CI).

Les droites AC et AB sont sécantes en A.
Les droites MP et CI sont parallèles .

d'apès le théorème de Thalès

AP/AC= AM/AI= MP/CI.

cOMME CI est la médiatrice de AB
Dans le triangle ACI rectangle en I, j'applique le théorème de pythagore:
AC²=AI²+CI²
12²=(12/2)²+CI²
144=36+CI²
CI²=144-36
CI²=108
CI=V108
CI=6V3

AP/12=x/6=MP/6V3
MP=x*6V3/6
MP=xV3

MN = 12 - 2x
MP = xV3
Donc MN*MP = (12 - 2x) * x√3 = x (12 - 2x) * 3
= x(1 - x)*2V3.

c) f(x) = MN*MP = x(6 - x)*2V3.

ensuite pour calculer f(3) il faut faire
f(3)=3(6-3)*2V3
f(3)=18V3

[invite7bfc68ef]

si tu regardes bien ta fonction est = à la mienne ( la mienne en + claire ) au passage j'enduits pas , j'ai pas d'enduit ; on induit en erreur , mais là c'est pas le cas