dérivée de fonction

[tpscience]

Bonjour à tous,

j'étudie une fonction définie sur R+* telle que : f(x) = 1 - (1+x)*exp(-x).

On me demande d'étudier ses variations, donc dérivée :
f '(x) = x*exp(-x). Puis étude du signe : f '(x) > 0 car on est sur R+*, donc f(x) est strictement croissante sur R+*.

Puis on me demande de montrer que : 0<f '(x)<x. Pour cela je choisi donc d'étudier les limites de f '(x) en O+ et en +infini.
Or, pour 0+ j'ai bien : lim f '(x) = 0 ;
mais en +infini j'ai : lim f '(x) = +infini * 0+ (forme indéter.) mais il me semble que cela donne du 0+.

Si quelqu'un avait une idée pour calculer cet encadrement ...?

Merci.
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[mimo13]

N'oublie pas que .

[tpscience]

En fait, en étudiant la dérivée seconde il se trouve que le max de f '(x) soit en x=1, mais je trouve dans ce cas f '(1)=1/e.

Je ne vois toujours pas comment retrouver cet encadrement :
0 < f '(x) < x.

Et de là, quel pourrait être l'encadrement de f(x) ...???

Merci encore pour tout.