math spé

[invitea7ab5b3f]

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j, k).
On considère la surface S d'équation: x²+y²-z²=1

Partie A: hyperboloide de révolution à une nappe

1) Justifier que le plan (xOy) est un plan de symétrie de la surface S.

2) Reconnaître la courbe d'intersection de la surface S et du plan d'équation z=c où c appartient à R. Donner les éléments caractéristiques de cette courbe.

on fait un système non ?

x²+y²-z²=1 et z=c
x²+y²-c²=1 et z=c

Et ensuite il me suffit juste de déterminer la forme d'équation que représente x²+y²-c²=1? Ce n'est pas une hyperbole ou quoi ?

3) Dans cette question, on s'interesse à la courbe H d'intersection de la surface S et du plan (yOz)

a. Déterminer une équation de la courbe H dans le repère (O, j, k) du plan (yOz).

b. On pose vecteur u = ((racine de 2)/2)* (vecteur j + vecteur k) et vecteur v= ((racine de 2)/2)* (vecteur -j + vecteur k)
Soit M un point du plan (yOz). On note (y, z) les coordonnées de M dans le repère (O, j, k) et (Y,Z) celles de ce meme point M dans le repère (O, u, v)

Montrer que : y=((racine de 2)/2)*(Y-Z) et z=((racine de 2)/2)*(Y+Z)

c. en déduire une équation de la courbe H dans le repère (O, u, v). Reconnaitre la nature de H.

Pourriez vous m'expliquer la démarche pour les questions car j'ai beaucoup de mal. Merci.
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1. Que proposes-tu ?

2. Je dirais simplement qu'on a x²+y² = (c²+1).

 Cliquez pour afficher

c²+1 = (racine(c²+1))²

Ne reconnais-tu pas l'équation d'une "courbe" particulière ?

3.a. Que vaut x dans le plan (yOz) ?
3.b. As-tu fait un dessin ? (juste pour mieux voir)
3.c. Que dirais-tu de remplacer y et z dans l'équation de départ par les valeurs à retrouver au 3.b. ?
(n'oublie pas que x = ... d'après 3.a.)

Duke.

[invitea7ab5b3f]

1) Soit M(x,y,z) un point de la surface S. Son symétrique par rapport au plan (xOy) est alors M'(x,y,-z)
Il faut montrer que M' appartient aussi à S.
x²+y²-(-z)²=x²+y²-z²
M appartient à S donc: x²+y²-z²=1 Alors x²+y²-(-z)²=1
M' appartient aussi à S donc le plan (xOy) est un plan de symétrie de la surface S.

2) C'est une parabole ?

3) a. c'est x=k nan ?
b. Oui j'ai un dessin , mais je ne sais pas comment démarrer la question

[Duke Alchemist]

Re-

1. OK.

2. Non. Je t'ai donné un bon indice en plus

3.a. Et dans LE plan (yOz) x=k=...
3.b. Bon sans le dessin alors :
Tu as u et v en fonction de i et j, eh bien exprime i et j en fonction de u et v, non ?

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7ab5b3f]

2) Ah c'est un cercle non!?

3) je ne vois pas , pourrais tu me montrer comment faire ?

[Duke Alchemist]

2. En effet c'est un cercle.
Quelquepart, c'est un solide de révolution aussi


3. J'avais pensé à un truc pas trop compliqué à la base mais on peut faire plus simple encore.. Ne nous en privons pas

On a




or et
Jusque là OK ?

Si oui, tu remplaces et par leur expression en et en puis tu regroupes suivant les vecteurs et et tu identifies à la première expression de .
Vois-tu ce que je veux te faire faire ?

Duke.

[invitea7ab5b3f]

pour la 3)a. quel systeme je dois choisir ?
b. Pourquoi faire intervenir i ?