DM dérivation

[invite3c23540d]

Bonjour à tous.

Je n'arrive pas à résoudre un exercice.

L'objectif du problème est d'étudier la fonction numérique f définie sur R* par : f(x) = 4/x +2x² et d'employer cette étude pour résoudre un problème d'extremum.

Premiere partie :

1a) calculer la dérivée de f :
b/ vérifier que f'(x) = 4(x-1)(x²+x+1)/x². étudier le signe de f'(x).
c/ en déduire le tableau de variations de f.

Résultats :

a)Je trouve pour la dérivée f'(x) -4/x²+4x
b)Je trouve ici 4x^3-4/x²

Donc c'est pas la même chose et par la suite je ne sais vraiment comment faire .

Merci pour votre aide.
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[Rhodes77]

Bonjour,

Développez la forme proposée du numérateur dans l'énoncé, et vous retombrez sur votre calcul. Rien d'alarmant donc.
Si vous cherchez à savoir comment on obtient cette forme : "votre" numérateur s'écrit, au facteur 4 près, (x^3)-1, donc 1 est une racine. Il existe donc un polynome P de degré 2 qui vérifie (x-1).P(x)=(x^3)-1.
On peut écrire P(x)=ax²+bx+c et développer le tout pour trouver un système de 3 équations à 3 inconnues a, b et c, qui conduisent à la forme de P de l'énoncé.
Notons enfin que pour l'étude de signe, il n'était pas nécessaire d'introduire la formule développée du numérateur, et qu'on aurait pu se limiter à l'étude du signe de (x^3)-1 le long des réels.

Bon courage

Edit : Mettez des parenthèses si vous ne gérez pas LaTeX, on ne sait pas quelle formule vous avez trouvée dans votre dernière expression. J'ai supposé que vous aviez : f'(x)=4.(x^3-1)/x².

[invite3c23540d]

Ah, vous avez mal supposez car l'énoncé était :

b) Vérifiez que f'(x)= 4(x-1)(x²+x+1)/x² donc vous avez oublié le x-1 non?

Sinon j'ai fais ça : f'(x)= 4[x^3+x²+x-x²-x-1]/x²
= 4(x^3+1)/x²
C'est donc différent du résultat que j'ai trouvé au a) qui était -4/x²+4x

[deyni]

Bonjour.

f(x)=4/x+2x²

1a)f est une fonction continue, définie et derivable sur R\{0}, comme somme de fonction continue définie et dérivable sur cet intervalle. Donc:
f''(x)=-4/x²+4x (utilise la dérivée de 1/x et multiplie par 4)
f''(x)=4(-1/x²+x) (on factorise par 4)

b)d'apès la réponse de la question 1a):
f''(x)=4(-1/x²+x)
f''(x)=4((-1+x^3)/x²) (même denominateur)
le -1+x^3 est gênant.

On pose g(x)=-1+x^3
g(1)=-1+1=0. Donc g(x) s'écrit sous la forme: g(x)=(x-1)(ax²+bx+c), où a,b,c sont des constantes à déterminer.
Pour les déterminer il faut comparer les coefficients des polynomes
g(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
g(x)=ax^3+bx²+cx-ax²-bx-c
g(x)=ax^3+x²(b-a)+x(c-b) -c et aussi g(x)=-1+x^3
On compare les coefficient:
a=-1 a=1
b-a=0 b=1
c-b=0 c=1
-c=-1

Donc g(x)=(x-1)(x²+x+1)
On avait f'(x)=4(g(x)/x²) on remplace
f'(x)=4(x-1)(x²+x+1)/x²

c) on étudie le signe de f'(x):
il ne depend que de x-1, car 4; x² et x²+x+1 ces termes sont toujours positif, pour tout x appartenant à R\{0}
.f'(x)>0 équivaut à x-1>0 qui donne x>1 Donc f est strictement croissante sur ]1;+infinifi[
.f'(x)<0 équivaut x-1<0 donc x<1. Donc f est strictement décroissante sur ]-infini;0[U]0;1[ (car f' pas définie en 0
.f'(x)=0 équivaut à x=1. Donc en 1, f admet un minimun

Voilà pour les variations, il faut juste mettre les flèches.
Les limites, + infini en +et -infinie, en 0-, -l'infini,0+ plus l'infini, f(1)=6

limite en +et -infini de 4/x=0, pour 2x² c'est +infini
limite en 0- de 4/x c'est - infini, pour 2x² c'est 0
limite en o+, de 4/x c'est plus infini.

Dans le tableau de variation n'oublie pas les doubles barres en x=0.

Si tu as des questions n'hésite pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c23540d]

Merci d'avoir pris du temps

Je ne comprends pas cette partie :
"Voilà pour les variations, il faut juste mettre les flèches.
Les limites, + infini en +et -infinie, en 0-, -l'infini,0+ plus l'infini, f(1)=6

limite en +et -infini de 4/x=0, pour 2x² c'est +infini
limite en 0- de 4/x c'est - infini, pour 2x² c'est 0
limite en o+, de 4/x c'est plus infini."

[Rhodes77]

Ah, vous avez mal supposez car l'énoncé était :

b) Vérifiez que f'(x)= 4(x-1)(x²+x+1)/x² donc vous avez oublié le x-1 non?

Sinon j'ai fais ça : f'(x)= 4[x^3+x²+x-x²-x-1]/x²
= 4(x^3+1)/x²
C'est donc différent du résultat que j'ai trouvé au a) qui était -4/x²+4x

Je ne vois pas ce qui vous fait dire ça. En vérité je vous mettais sur la piste que Deyni vous a développé.
"Mettre les flèches" c'est simplement indiquer à l'aide de flèches si la fonction est croissante ou décroissante.
Les limites sont à calculer aux points caractéristiques qui apparaissent dans le tableau de variation. Quand vous aurez fini de le dresser, les indications de Deyni sauront vous éclairer.

Bon courage

[deyni]

Rebonjour.

Désolé de ne pas avoir été très clair à la fin.
Quand tu dresse ton tableau de variation, il y a une ligne où tu met x, (ensuite les bornes du domaines de définition)
Une seconde où tu met f'(x), avec le + et le -, la double barre
Et une dernière où tu met une flèche qui part du bas vers le haut si la fonction est croissante, avec a ses extrémités les limites; et une flèche qui part du haut vers le bas si la fonction est décroissante.

Voilà, ce n'est pas très compréhensible, mais sinon, regarde dans une annale de math TS, une étude de fonction(il y en a toujours), tableau de variation et tu verras ce que je veux dire, car c'est pas trop compréhensible, si tu en a un sous les yeux tu comprendra.(Même si la fonction est différente, l'important c'est que tu vois comment ils ont construit le tableau de variation, et tu verras que cela s'applique à ton cas)

[invite3c23540d]

Bonjour
D'accord j'ai compris, merci.

J'ai une deuxième partie dans l'exercice :

On construit un réservoir fermé en tôle, ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, de hauteur h et dont la base est un carré de côté x (l'unité de longueur est le mètre).

1) Exprimé l'aire S de la tôle utilisée et le volume V du réservoir en fonction de x et h.
2) on suppose que la capacité du réservoir est de 1m^3.
a) exprimer la hauteur h en fonction de x.
b) en déduire l'expression de S en fonction de x.
c)a l'aide de la première partie, déterminer x tel que l'aire S soit minimum. Donner alors les dimensions du réservoir.

Résultats:
1) Aire S: (HxXx2)+(5xXx2)+(5xHx2) = (HxX)x2 + (X+H)x10
Volume : (HxX)x5

Le fait de mettre des lettres à la place des chiffres me gêne beaucoup et je ne pense pas avoir juste...
Merci de votre soutient.

[deyni]

Il faut bien connaitre ses formules. Pas le cas pour moi désolé, en géneral je ne les apprends pas, masi je sais les retrouver.
Donc je saute toute la partie formule.

2b) Vu les questions, je crois que
S(x)= 4/x +2x²; c'est comme f''(x); on veut l'aire minimale de S(x); donc le minimum de f(x), que l'on obtient à l'aide du tableau de varition, le minimum est en x=1(regarde les messages précedents)

[invite3c23540d]

Merci beaucoup de votre aide