Trigonométrie : formules d'addition et de duplication [1èreS]

[invite1c8e448d]

Bonjour. J'aimerai avoir de l'aide pour réaliser 2 exercices. Je n'ai pas compris, donc si vous pouviez m'expliquer, ce serait bien.

Exercice 1:

a) Exprimer cos(a+b+c) et sin(a+b+c) en fonction de cos a, cos b, cos c, et sin a, sin b, sin c.

ici, j'ai trouvé pour cos(a+b+c) = cosa cosb cosc - sina sinb sinc.
Je ne sais pas si il faut développer ou non, et pour sin(a+b+c) je ne sais pas.

b) En déduire une expression de cos 3a en fonction de cos a et une expression de sin 3a en fonction de sin a.

Exercice 2 :

Démontrer que pour tout réel x :

a) sin⁴x - cos⁴x + cos² x - sin² x = 0

b) cos⁴x + sin⁴x + 2 sin²x cos²x = 1

c) cos⁴x - sin⁴x = cos 2 x
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Exo 1 :
J'ai un sérieux doute sur ta proposition.
Je te propose d'utiliser cos(A+B) = cosAxcosB - sinAxsinB et sin(A+B) = sinAxcosB + sinBcosA en écrivant cos(a+b+c) sous la forme cos((a+b)+c) puis de réitérer avec les cos(a+b) et sin(a+b) obtenus dans le résultat.

Ex.2 :
Essaie de repérer des identités remarquables en les associant aux formules de trigo bien connues genre cos²a + sin²a = 1...

[invite1c8e448d]

Pour l'exercice 1, je ne comprends pas ce que tu dis. Pour cos (a+b+c), ça me donne : cos ((a+b)+c) = (cosa cob)* cos c - (sina sinb) * sin c ?

Pour l'exercice 2, je connais la formule, mais je vois pas comment faire, avec des puissance 4

[Duke Alchemist]

Re-

Exo1 :
cos((a+b)+c) = cos(a+b)xcos(c) - sin(a+b)xsin(c) = ...

Exo2 :
Une piste pour démarrer :
a⁴ - b⁴ = (a²)² - (b²)² = (a²-b²)(a²+b²)

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c8e448d]

1) Peut être que je me trompe : cos((a+b)+c) = cos(a+b)xcos(c) - sin(a+b)xsin(c) = cos² (a+b)c - sin²(a+b)c.

Exercice 2 :
Pour le début, ça marche ?

sin4x - cos4x + cos² x - sin² x = 0
(sin²x - cos²x) (sin²x + cos²x) + (cos²x - sin²x) (cos²x + sin²x) = 0

[Duke Alchemist]

Re-

1) Peut être que je me trompe : cos((a+b)+c) = cos(a+b)xcos(c) - sin(a+b)xsin(c) = cos² (a+b)c - sin²(a+b)c.

cos(a+b)xcos(c) = [cos(a)xcos(b)-sin(a)xsin(b)]xcos(c) qu'il faut développer et faire la même chose avec sin(a+b)x...

Exercice 2 :
Pour le début, ça marche ?

sin4x - cos4x + cos² x - sin² x = 0
(sin²x - cos²x) (sin²x + cos²x) + (cos²x - sin²x) (cos²x + sin²x) = 0

Le terme en gras n'est pas forcément utile sauf si tu as pensé que cos²x+sin²x = 1 et que tu obtiens deux termes opposés (mais dans ce cas, fais les apparaître.

Sinon, (sin²x - cos²x) (sin²x + cos²x) + (cos²x - sin²x) = 0
tu factorises par (sin²x - cos²x) et la simplification s'opère d'elle-même.

Duke.

[invite1c8e448d]

Ok, merci pour l'exercice 1. Mais j'ai une dernière question :
quand on développe [cos(a)*cos(b) - sin(a) * sin(b)] * cos(c),
ça donne bien cos(c) cos(a) + cos(c) cos (b) - cos(c) sin(a) - cos(c) sin (b) ?

Pour l'exercice 2, on peut pas mettre en facteur (sin²x - cos²x)