Problèmes TS Equation de plan et de sphère

[invitee7b07b2b]

bonjour, voilà j'ai un DM à faire mais j'ai un problème, je me perds dans mes calculs et n'obtient jamais les mêmes résultats à chaque essai.
Pouvez m'aider, s'il vous plait !

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O,vecteur i, vecteur j,vecteur k)
On considère 4 points, A, B, C et I de coordonnées respectives :
A(-1;2;1) B(1;-6;-1) C(2;2;2) D (0;1;-1)
Ce n'est pas une erreur de ma part, il y a bien I et D dans l'énoncé

1.a. Montrer que A,B et C ne sont pas alignés
b. Déterminer une équation cartésienne du plan P contenant les trois points A,B et C .
2. Soit Q le plan d'équation x+y-3z+2=0 et Q' le plan (O, vecteur i, vecteur j )
a. Pourquoi Q et Q' sont sécants ?
b. Donner un point E et un vecteur directeur u de la droite d'intersection DELTA des plans Q et Q'
3. Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.
4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :
J(-2;0;0) et K(1;0;1)
Determiner avec soin l'intersection de la sphère S et de la droite (JK)


1.a. j'ai calculé les vecteurs AC et AB, et montré qu'il n'était pas colinéaires car il n'existait pas de coefficient de colinéarité entre leurs coordonnées.
1.b. c'est là que ça commence à bloquer,, car j'ai 3 équations cartésiennes du plan P pour chaque point A, B et C donc je crée un système avec ces 3 équations, mais c'est le gros bordel, je n'arrive à rien ! :s
2. Comment fait on pour montrer que deux plans sont sécants ?
la suite ne peut pas etre faite sans les réponses de ces questions là .
S'il vous plait ! Si quelqu'un a des idées ! :s
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Pour commencer je pense que ton énoncé comporte une erreur, et que I et D sont le même point. Par la suite, autant l'appeler D.

Concernant l'équation de plan, tu sais que le plan P contient les trois points A, B et C, et que et ne sont pas colinéaires.

Pour trouver l'équation d'un plan quand on possède deux vecteurs non colinéaires de ce plan, la méthode est TOUJOURS la même, alors retiens la.

Pour tout point M(x,y,z) du plan P, le vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de deux autres vecteurs non colinéaires de P (ici on utilisera évidemment et ). Il vient donc:



où et sont deux réels quelconques.

Cette équation permet d'en écrire 3 autres. On cherche par la suite à supprimer les et pour n'obtenir plus qu'une équation de plan dépendant de x, y et z.


2) Pour montrer que deux plans sont sécants, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

Bon courage!

[invitee7b07b2b]

Coucou !!
j'avais pas vu ça comme çà ! quand tu parles des 3 équations qu'on obtient c'est bien 3 équations avec x, y puis z ? fin , on se sert des coordonnées des vecteurs ?
Mais je m'embrouille, il y a trop d'inconnues fin je reviens sur mes pas à chaque fois. Tu mettrais quoi toi en facteur pour simplifier le système de ces 3 équations ?

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Je ne mettrais rien en facteur

Il suffit de réécrire l'équation avec les coordonnées des vecteurs pour voir apparaître 3 équations: une 1ère faisant intervenir x, et , une seconde faisant intervenir y et et une troisième faisant intervenir z, et .

Ne perds pas de vue que ce que tu cherches à obtenir c'est une équation de la forme a*x+b*y+c*z+d au final, autrement dit une équation dans laquelle figurent x, y et z. Il n'est donc pas question de les supprimer du système de 3 équations: c'est et qu'il faut faire partir.

Donne nous les équations que tu obtiens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee7b07b2b]

j'obtiens les 3 équations suivantes : (P= ton y bizarre lol )
x+1 = 2landa+3P
y-2 = -8landa
z-1 = P
j'essaye de simplifier maintenant

[invitee7b07b2b]

J'arrive à x + y/4 - 3z + 5/2 = 0 !
C'est çà ?

[invitee4ef379f]

Non ce n'est pas ça.

Etant donné le système que tu proposes dans ton message #5, je pense que tu as mal calculé le vecteur AB.

Bon courage!

[invitee7b07b2b]

ah tu a raison j'ai perdu un -2landa en route, je recommence !

[invitee7b07b2b]

cela ferait 2x + y+ 2z -2 = 0 ???

[invitee4ef379f]

Mmmm non, ce n'est pas ce que je trouve. Es-tu sûre?

[invitee7b07b2b]

2x + y -2z + 2 = 0 ??

[invitee4ef379f]

Lol non.

J'ai beau faire et refaire le calcul, je tombe à chaque fois sur:


Bon courage!

[invite3ba0dddb]

salut,
suis le post 18 de cette discution et tu arrivera au bon résultats
http://forums.futura-sciences.com/ma...a-retenir.html

remarque: si tu regardes la prochaine question on te donne la réponse, ça permet de savoir si on a fait juste ou pas et/ou de continuer l'exo sans avoir réussit la précédante

[invitee4ef379f]

remarque: si tu regardes la prochaine question on te donne la réponse, ça permet de savoir si on a fait juste ou pas et/ou de continuer l'exo sans avoir réussit la précédante

Oui en effet, je n'avais même pas fait attention à ça. Maintenant je suis sûr que mon calcul est juste

[invitee7b07b2b]

Hey oui ! ça y est ! j'ai enfin trouvé le bon resultat ! Merci !! !! Lol

[invitee7b07b2b]

Pour la 2.b par contre, comment fait-on ??
parce que je me suis dis que le vecteur u etait un vecteur directeur des 2 plans donc que ses coordonnées coorespondent à leur équation mais je m'embrouille entre vecteru directeur de plan et vecteur directeur de la droite. Puis pour le point, c'est encore plus brouillon dans ma tete !

[invitee4ef379f]

Ok alors avant de poster une réponse, un petit point de vocabulaire.

Une droite est orientée dans une direction donnée, mais n'a pas de sens. C'est pour cela qu'on peut trouver des vecteurs directeurs à une droite. Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont bien entendu colinéaires: ils ont tous la même direction (mais pas nécessairement le même sens, bien que pour une direction donnée il n'y ait que deux sens possibles).

Un plan, c'est un objet en deux dimensions qui comprend une infinité de directions. On ne peut donc pas parler de vecteur directeur d'un plan, puisque cela reviendrait à favoriser certaines directions par rapport à d'autres. Par contre, un plan est défini par n'importe quel couple de vecteurs non colinéaires qui lui appartiennent: le choix du couple étant libre, on ne favorise pas de directions particulières.

Autrement dit, on parle de vecteurs directeurs d'une droite, et de vecteurs appartenant à un plan!

Je m'occupe maintenant de ta question!

[invitee4ef379f]

Bien, pour la 2b) je serais toi je commencerais par déterminer l'équation du plan (Q').

Ensuite l'intersection des deux plans, eh bien c'est l'ensemble des points qui vérifient à la foi l'équation de (Q) et celle de (Q').

En mathématisant un peu tout ça, on obtient l'équation d'une droite. A partir de là il est très facile de déterminer autant de points que tu veux de l'intersection de (Q) et de (Q'), et donc un vecteur directeur de leur droite d'intersection.

Bon courage!

[invitee7b07b2b]

ah merci , j'ai compri ! je me suis servi de la représentation paramétrique de la droite DELTA et j'ai trouvé pour vecteur u des coordonnées (1;1;2/3) et pour E(0;0;2/3) . c'est ça non ?

[invitee7b07b2b]

pour trouver les points d'intersection entre la sphère et la droite (JK) j'ai du mal, j'ai vu sur un site qu'on trouver la représentation paramétrique de (JK) puis ensuite on résolvait un système avec la représentation paramétrique et l'équation cartésienne de la sphère, mais j'arrive à 5z^2 - 5z+1=0 ensuite je ne comprends pas ce qu'ils font il y a des z1 z2 x1 x2 etc... :s

[invitee7b07b2b]

Si quelqu'un a une idée s'il vous plait !!! :s

[invitee4ef379f]

ah merci , j'ai compri ! je me suis servi de la représentation paramétrique de la droite DELTA et j'ai trouvé pour vecteur u des coordonnées (1;1;2/3) et pour E(0;0;2/3) . c'est ça non ?

Non ce n'est pas ca.

Quelle est l'équation du plan (Q')?

[invitee7b07b2b]

l'equation du plan Q' est x+y=0 non ? vu que c'est le plan (o;i;j) ???

[invitee4ef379f]

Ben non justement!

Si le plan Q' est (O;i;j), le point (2;2;0) y appartient, non?

Donc je réitère ma question: quel est l'équation de ce plan? (La réponse est toute bête.)

[invitee7b07b2b]

???
ax+by=0 ???

[invitee4ef379f]

Non plus, ceci est une équation de droite.

Alors dans ce cas, quelle coordonnée ont en commun tous les points de ce plan?



De manière plus rigoureuse, tu peux commencer par chercher un vecteur normal N(N_x;N_y;N_z) à (Q') (il y en a un évident).

Ensuite d'après l'énoncé (Q') est le plan (O;i;j). Peux tu trouver un point évident appartenant au plan (Q')?

Comment alors trouver l'équation de (Q') connaissant un vecteur normal et un point du plan?

[invitee7b07b2b]

oula là je comprends plus rien ! :s

[invitee4ef379f]

En terminale, on peut déterminer l'équation d'un plan de deux manières:

1. soit on possède deux vecteurs non colinéaires du plan, auquel cas on écrit que tout autre vecteur du plan s'écrit comme combinaison linéaire des deux premiers; c'est ce que tu as fait pour trouver l'équation de Q;
2. soit on possède un vecteur normal au plan et un point du plan, et là aussi il existe une méthode que tu es censée connaître.

J'ai voulu te faire utiliser la seconde pour changer, mais on peut très bien réutiliser la 1ère ici: i et j appartiennent à (Q') et sont non colinéaires!

[invitee7b07b2b]

Pour la 2e méthode, on a pas de vecteur normal pour le plan :s on le trouve comment ?

[invitee4ef379f]

Il y en a un évident Fais un schéma tu verras!