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Problèmes TS Equation de plan et de sphère



  1. #1
    missSoleil

    Red face Problèmes TS Equation de plan et de sphère


    ------

    bonjour, voilà j'ai un DM à faire mais j'ai un problème, je me perds dans mes calculs et n'obtient jamais les mêmes résultats à chaque essai.
    Pouvez m'aider, s'il vous plait !

    L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (O,vecteur i, vecteur j,vecteur k)
    On considère 4 points, A, B, C et I de coordonnées respectives :
    A(-1;2;1) B(1;-6;-1) C(2;2;2) D (0;1;-1)

    Ce n'est pas une erreur de ma part, il y a bien I et D dans l'énoncé

    1.a. Montrer que A,B et C ne sont pas alignés
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan P contenant les trois points A,B et C .
    2. Soit Q le plan d'équation x+y-3z+2=0 et Q' le plan (O, vecteur i, vecteur j )
    a. Pourquoi Q et Q' sont sécants ?
    b. Donner un point E et un vecteur directeur u de la droite d'intersection DELTA des plans Q et Q'
    3. Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.
    4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :
    J(-2;0;0) et K(1;0;1)
    Determiner avec soin l'intersection de la sphère S et de la droite (JK)


    1.a. j'ai calculé les vecteurs AC et AB, et montré qu'il n'était pas colinéaires car il n'existait pas de coefficient de colinéarité entre leurs coordonnées.
    1.b. c'est là que ça commence à bloquer,, car j'ai 3 équations cartésiennes du plan P pour chaque point A, B et C donc je crée un système avec ces 3 équations, mais c'est le gros bordel, je n'arrive à rien ! :s
    2. Comment fait on pour montrer que deux plans sont sécants ?
    la suite ne peut pas etre faite sans les réponses de ces questions là .
    S'il vous plait ! Si quelqu'un a des idées ! :s

    -----
    MissSoleil

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  3. #2
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Bonjour,

    Pour commencer je pense que ton énoncé comporte une erreur, et que I et D sont le même point. Par la suite, autant l'appeler D.

    Concernant l'équation de plan, tu sais que le plan P contient les trois points A, B et C, et que et ne sont pas colinéaires.

    Pour trouver l'équation d'un plan quand on possède deux vecteurs non colinéaires de ce plan, la méthode est TOUJOURS la même, alors retiens la.

    Pour tout point M(x,y,z) du plan P, le vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de deux autres vecteurs non colinéaires de P (ici on utilisera évidemment et ). Il vient donc:



    et sont deux réels quelconques.

    Cette équation permet d'en écrire 3 autres. On cherche par la suite à supprimer les et pour n'obtenir plus qu'une équation de plan dépendant de x, y et z.


    2) Pour montrer que deux plans sont sécants, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

    Bon courage!

  4. #3
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Coucou !!
    j'avais pas vu ça comme çà ! quand tu parles des 3 équations qu'on obtient c'est bien 3 équations avec x, y puis z ? fin , on se sert des coordonnées des vecteurs ?
    Mais je m'embrouille, il y a trop d'inconnues fin je reviens sur mes pas à chaque fois. Tu mettrais quoi toi en facteur pour simplifier le système de ces 3 équations ?
    MissSoleil

  5. #4
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Bonjour,

    Je ne mettrais rien en facteur

    Il suffit de réécrire l'équation avec les coordonnées des vecteurs pour voir apparaître 3 équations: une 1ère faisant intervenir x, et , une seconde faisant intervenir y et et une troisième faisant intervenir z, et .

    Ne perds pas de vue que ce que tu cherches à obtenir c'est une équation de la forme a*x+b*y+c*z+d au final, autrement dit une équation dans laquelle figurent x, y et z. Il n'est donc pas question de les supprimer du système de 3 équations: c'est et qu'il faut faire partir.

    Donne nous les équations que tu obtiens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    j'obtiens les 3 équations suivantes : (P= ton y bizarre lol )
    x+1 = 2landa+3P
    y-2 = -8landa
    z-1 = P
    j'essaye de simplifier maintenant
    MissSoleil

  8. #6
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    J'arrive à x + y/4 - 3z + 5/2 = 0 !
    C'est çà ?
    MissSoleil

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  10. #7
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Non ce n'est pas ça.

    Etant donné le système que tu proposes dans ton message #5, je pense que tu as mal calculé le vecteur AB.

    Bon courage!

  11. #8
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    ah tu a raison j'ai perdu un -2landa en route, je recommence !
    MissSoleil

  12. #9
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    cela ferait 2x + y+ 2z -2 = 0 ???
    MissSoleil

  13. #10
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Mmmm non, ce n'est pas ce que je trouve. Es-tu sûre?

  14. #11
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    2x + y -2z + 2 = 0 ??
    MissSoleil

  15. #12
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Lol non.

    J'ai beau faire et refaire le calcul, je tombe à chaque fois sur:


    Bon courage!

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  17. #13
    lawliet yagami

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    salut,
    suis le post 18 de cette discution et tu arrivera au bon résultats
    http://forums.futura-sciences.com/ma...a-retenir.html

    remarque: si tu regardes la prochaine question on te donne la réponse, ça permet de savoir si on a fait juste ou pas et/ou de continuer l'exo sans avoir réussit la précédante

  18. #14
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Citation Envoyé par lawliet yagami Voir le message
    remarque: si tu regardes la prochaine question on te donne la réponse, ça permet de savoir si on a fait juste ou pas et/ou de continuer l'exo sans avoir réussit la précédante
    Oui en effet, je n'avais même pas fait attention à ça. Maintenant je suis sûr que mon calcul est juste

  19. #15
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Hey oui ! ça y est ! j'ai enfin trouvé le bon resultat ! Merci !! !! Lol
    MissSoleil

  20. #16
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Pour la 2.b par contre, comment fait-on ??
    parce que je me suis dis que le vecteur u etait un vecteur directeur des 2 plans donc que ses coordonnées coorespondent à leur équation mais je m'embrouille entre vecteru directeur de plan et vecteur directeur de la droite. Puis pour le point, c'est encore plus brouillon dans ma tete !
    MissSoleil

  21. #17
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Ok alors avant de poster une réponse, un petit point de vocabulaire.

    Une droite est orientée dans une direction donnée, mais n'a pas de sens. C'est pour cela qu'on peut trouver des vecteurs directeurs à une droite. Tous les vecteurs directeurs d'une même droite sont bien entendu colinéaires: ils ont tous la même direction (mais pas nécessairement le même sens, bien que pour une direction donnée il n'y ait que deux sens possibles).

    Un plan, c'est un objet en deux dimensions qui comprend une infinité de directions. On ne peut donc pas parler de vecteur directeur d'un plan, puisque cela reviendrait à favoriser certaines directions par rapport à d'autres. Par contre, un plan est défini par n'importe quel couple de vecteurs non colinéaires qui lui appartiennent: le choix du couple étant libre, on ne favorise pas de directions particulières.

    Autrement dit, on parle de vecteurs directeurs d'une droite, et de vecteurs appartenant à un plan!

    Je m'occupe maintenant de ta question!

  22. #18
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Bien, pour la 2b) je serais toi je commencerais par déterminer l'équation du plan (Q').

    Ensuite l'intersection des deux plans, eh bien c'est l'ensemble des points qui vérifient à la foi l'équation de (Q) et celle de (Q').

    En mathématisant un peu tout ça, on obtient l'équation d'une droite. A partir de là il est très facile de déterminer autant de points que tu veux de l'intersection de (Q) et de (Q'), et donc un vecteur directeur de leur droite d'intersection.

    Bon courage!

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  24. #19
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    ah merci , j'ai compri ! je me suis servi de la représentation paramétrique de la droite DELTA et j'ai trouvé pour vecteur u des coordonnées (1;1;2/3) et pour E(0;0;2/3) . c'est ça non ?
    MissSoleil

  25. #20
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    pour trouver les points d'intersection entre la sphère et la droite (JK) j'ai du mal, j'ai vu sur un site qu'on trouver la représentation paramétrique de (JK) puis ensuite on résolvait un système avec la représentation paramétrique et l'équation cartésienne de la sphère, mais j'arrive à 5z^2 - 5z+1=0 ensuite je ne comprends pas ce qu'ils font il y a des z1 z2 x1 x2 etc... :s
    MissSoleil

  26. #21
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Si quelqu'un a une idée s'il vous plait !!! :s
    MissSoleil

  27. #22
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Citation Envoyé par missSoleil Voir le message
    ah merci , j'ai compri ! je me suis servi de la représentation paramétrique de la droite DELTA et j'ai trouvé pour vecteur u des coordonnées (1;1;2/3) et pour E(0;0;2/3) . c'est ça non ?

    Non ce n'est pas ca.

    Quelle est l'équation du plan (Q')?

  28. #23
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    l'equation du plan Q' est x+y=0 non ? vu que c'est le plan (o;i;j) ???
    MissSoleil

  29. #24
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Ben non justement!

    Si le plan Q' est (O;i;j), le point (2;2;0) y appartient, non?

    Donc je réitère ma question: quel est l'équation de ce plan? (La réponse est toute bête.)

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  31. #25
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère


    ???
    ax+by=0 ???
    MissSoleil

  32. #26
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Non plus, ceci est une équation de droite.

    Alors dans ce cas, quelle coordonnée ont en commun tous les points de ce plan?



    De manière plus rigoureuse, tu peux commencer par chercher un vecteur normal N(Nx;Ny;Nz) à (Q') (il y en a un évident).

    Ensuite d'après l'énoncé (Q') est le plan (O;i;j). Peux tu trouver un point évident appartenant au plan (Q')?

    Comment alors trouver l'équation de (Q') connaissant un vecteur normal et un point du plan?

  33. #27
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    oula là je comprends plus rien ! :s
    MissSoleil

  34. #28
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    En terminale, on peut déterminer l'équation d'un plan de deux manières:
    1. soit on possède deux vecteurs non colinéaires du plan, auquel cas on écrit que tout autre vecteur du plan s'écrit comme combinaison linéaire des deux premiers; c'est ce que tu as fait pour trouver l'équation de Q;
    2. soit on possède un vecteur normal au plan et un point du plan, et là aussi il existe une méthode que tu es censée connaître.

    J'ai voulu te faire utiliser la seconde pour changer, mais on peut très bien réutiliser la 1ère ici: i et j appartiennent à (Q') et sont non colinéaires!

  35. #29
    missSoleil

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Pour la 2e méthode, on a pas de vecteur normal pour le plan :s on le trouve comment ?
    MissSoleil

  36. #30
    Plume d'Oeuf

    Re : Problèmes TS Equation de plan et de sphère

    Il y en a un évident Fais un schéma tu verras!

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