fonctions dérivées : question

[invite79e760d4]

Bonsoir,

Soit l'exemple

Je me demande quelle est la règle prioritaire à savoir : 1) dois-je considérer la fonction comme étant du type ou plutôt 2) comme une fonction du type . En gros c'est l'exposant du cosinus qui me déroute
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[invitee4ef379f]

Bonsoir,

Aucun des deux. Tu dois considérer la fonction comme étant .

En posant , tu te ramènes à une forme


Dont la dérivée est


Ce qui donne?

Bon courage!

[invite79e760d4]

Bonsoir,

Aucun des deux. Tu dois considérer la fonction comme étant .

En posant , tu te ramènes à une forme


Dont la dérivée est


Ce qui donne?

Bon courage!

houlàlà, désolé mais c'est quoi "u" ?
et où est passé le cosinus dans le développement?

[invitee4ef379f]

J'ai juste fait un changement de variable.

J'ai posé , mais je peux garder la notation jusqu'au bout si tu préfères. (Il est vrai que le changement de variable n'était pas trop nécessaire ici)



Je reprends donc. Il faut considérer la fonction f(x) dans son intégrité, pas comme étant "comme ceci" ou "comme cela".

Or ce qu'on remarque c'est la f est composée d'une fonction "cosinus" et d'une fonction "carré". La question est: comment dérive-t-on ce bazar?

La réponse est: en suivant les règles de priorité mon colonel!



On remarque que la fonction f s'écrit:


Donc dans l'ordre on prend le cosinus de x, puis on met au carré.

Pour dériver cela, on part du plus "global", pour aller vers le "détail". Je m'explique: le plus global, c'est un carré, et quand on rentre dans les parenthèses, on voit un cosinus.

On dérive donc la fonction d'abord comme un carré:



Mais il faut maintenant multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses, autrement dit par la dérivée de :


Or la dérivée de , c'est .

Donc au final, la dérivée de f est?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite79e760d4]

J'ai juste fait un changement de variable.

J'ai posé , mais je peux garder la notation jusqu'au bout si tu préfères. (Il est vrai que le changement de variable n'était pas trop nécessaire ici)



Je reprends donc. Il faut considérer la fonction f(x) dans son intégrité, pas comme étant "comme ceci" ou "comme cela".

Or ce qu'on remarque c'est la f est composée d'une fonction "cosinus" et d'une fonction "carré". La question est: comment dérive-t-on ce bazar?

La réponse est: en suivant les règles de priorité mon colonel!



On remarque que la fonction f s'écrit:


Donc dans l'ordre on prend le cosinus de x, puis on met au carré.

Pour dériver cela, on part du plus "global", pour aller vers le "détail". Je m'explique: le plus global, c'est un carré, et quand on rentre dans les parenthèses, on voit un cosinus.

On dérive donc la fonction d'abord comme un carré:



Mais il faut maintenant multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans les parenthèses, autrement dit par la dérivée de :


Or la dérivée de , c'est .

Donc au final, la dérivée de f est?

merci Plume d'oeuf pour l'explication plus en détail
cependant...je ne pige toujours pas l'ensemble du développement.

Dériver la fonction comme un carré, dans mon jargon cela revient à faire : donc d'où le résultat

Jusque là ok (bien que je constate que ton écriture comprend des parenthèses : les nuances qui sans doute m'échappent)

Après ça, la logique pour passer à m'échappe dans son intégralité...

[inviteaf48d29f]

Vous ne pouvez pas considérer que votre fonction est de la forme f(x)=xⁿ tout simplement parce qu'elle n'est pas de cette forme. Ce n'est pas x qui est élevé à la puissance n mais une fonction de x (en l'occurrence cosinus). Vous pouvez dire que f est de la forme f(x)=[cos(x)]ⁿ mais ça ne simplifie pas vraiment ^^.

Normalement vous devriez avoir vu la manière dont on dérive une composée de fonctions. Par exemple si f(x)=g[h(x)], on note aussi f(x)=(goh)(x) ou encore f=goh (qui se lit g "rond" h).
Dans se cas vous aurez f'(x)=h'(x)g'[h(x)].
Ce que vous oubliez c'est qu'il faut multiplier par h'(x).

Dans votre cas particulier vous avez f(x)=cos²(x). Si vous posez g : x->x² (inutile de poser h=cos, mais l'idée est là) vous aurez f(x)=gocos(x) et donc f'(x)=cos'(x)g'[cos(x)].
Vous savez en outre que g'(X)=2X donc g'(cos(x))=2cos(x) et cos'(x)=-sin(x). Il ne vous reste plus qu'à remplacer dans l'expression de f'(x) pour avoir votre résultat.

[invite79e760d4]

J'aimerais vous faire part des formules (exhaustives) vues dans mon cours car je ne vois pas dans cette liste celles qui correspondent aux explications ci-dessus. Or, j'aimerais vraiment comprendre comment pouvoir résoudre l'exercice avec les outils "officiels" du cours :

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Voilà, la logique du cours veut que je puisse résoudre les problèmes avec ces formules-ci...il n'y a absolument rien d'autre (pour le moment)

Y voyez-vous les outils qui me permettraient de résoudre la problème ?

[invitee4ef379f]

(bien que je constate que ton écriture comprend des parenthèses : les nuances qui sans doute m'échappent)

Non, les parenthèses que j'ai mises sont là pour bien séparer les blocs, mais peuvent être ôtées (quoique celles autour du dans gagnent à être conservées).

Après ça, la logique pour passer à m'échappe dans son intégralité...

Et c'est normal, car c'est là toute la difficulté de la dérivation!

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Cette table des dérivées est vraie uniquement, et je dis bien UNIQUEMENT si partout où il est écrit "x", eh bien il est écrit UNIQUEMENT "x", ET SURTOUT PAS AUTRE CHOSE.

Comme l'a expliqué S123, c'est maintenant une fonction composée que tu cherches à dériver.


Autrement dit quand tu dérives , tu vois bien que ce qui est au carré ce n'est pas mais . On ne peut donc pas dériver cette fonction en se servant seulement de la table ci dessus!!!!



Il existe une règle pour la dérivation des fonctions composées qui est celle qu'explique S123.

Cette règle revient à remplacer tous les "x" par une fonction u de x dans la table ci dessus, et à multiplier le résultat de la dérivée par u'(x).

Prends le temps de méditer () là dessus parce que c'est un concept clef de la dérivation; et la dérivation est un concept clef des mathématiques.


On peut construire une nouvelle table, basée sur la première, et ne faisant plus intervenir "x" tout seul, mais une fonction u(x):

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Je le répète, n'hésite pas à poser un maximum de questions pour comprendre ce chapitre des mathématiques, car tu ne pourras pas revenir dessus après: (presque) tout ce que tu feras ensuite se basera dessus!

Bon courage!

[inviteaf48d29f]

S321, pas S123. J'y tiens espèce d'œuf de plume !
Ceci étant dit, la table de dérivation que tu nous as donné ne te permet pas de dériver la fonction définie par f(x)=cos²(x). Il manque la dérivation d'une composition.

[inviteb14aa229]

J'aimerais vous faire part des formules (exhaustives) vues dans mon cours car je ne vois pas dans cette liste celles qui correspondent aux explications ci-dessus. Or, j'aimerais vraiment comprendre comment pouvoir résoudre l'exercice avec les outils "officiels" du cours :
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Voilà, la logique du cours veut que je puisse résoudre les problèmes avec ces formules-ci...il n'y a absolument rien d'autre (pour le moment)

Bonjour Joe,

Les formules de la liste ci-dessus donnent les dérivées de fonctions simples, c'est-à-dire de cas où l'on applique une seule fonction à la variable x.
Par exemple :
x -> f(x) = cos(x)
x -> g(x) = sin(x)
x -> h(x) = xⁿ etc.
Mais, comme l'ont dit Plume et S321, dans l'exercice que vous proposez, on applique successivement deux fonctions à la variable x.
Ainsi : d'abord :
x -> f(x) = cos(x)
puis :
y -> g(y) = y²
Nous n'avons donc pas seulement une fonction de x, comme dans votre liste, mais une fonction de fonction, ou fonction "composée".
On compose deux fonctions pour en créer une nouvelle.
C'est un peu comme si vous considérez la fonction :
f(x) = (x-1)²
Cette fonction f est la composée des fonctions :
g(x) = x-1
et h(x) = x²
Ce qui s'écrit, comme l'a indiqué S321 :
f = h°g (et qui se lit h rond g).
Cela se lit de droite à gauche : on applique d'abord g :
g(x) = x-1
Puis on applique h
h(x-1) = (x-1)²

De même pour votre exercice :
g(x) = cos(x)
et h(x) = x²
Donc f(x) = h[g(x)] = h°g(x) = cos(x)²
Comme il y a deux fonctions successives, il faut appliquer deux dérivations.
Il faut dériver et la fonction carré et la fonction cosinus.
Et pour cela, il faut suivre la formule donnée par S321 au message 6.

Paminode

[invite79e760d4]

Paminode, S321 et Plume d'Oeuf ==> merci beaucoup

En fait, il est certain que le cours abordera prochainement les dérivées composées or, pour l'instant, il n'aborde uniquement que les dérivées élémentaires...d'où ma perplexité quant à la raison d'être d'introduire, dans les exercices à rendre, une fonction non-vue dont l'élève lambda ne connaitra vraisemblablement pas la formule ad hoc ! Un choix surréaliste !

J'avoue encore nager dans vos explications. Néanmoins, si je tente d'appliquer la formule donnée par S321 (sans nécessairement la comprendre) à savoir :

Dans votre cas particulier vous avez f(x)=cos²(x). Si vous posez g : x->x² (inutile de poser h=cos, mais l'idée est là) vous aurez f(x)=gocos(x) et donc f'(x)=cos'(x)g'[cos(x)].
Vous savez en outre que g'(X)=2X donc g'(cos(x))=2cos(x) et cos'(x)=-sin(x). Il ne vous reste plus qu'à remplacer dans l'expression de f'(x) pour avoir votre résultat.

Cela donnerait : 2 cos x.(-sin x) ???

Dans tous les cas il est évident que je laisserai une remarque dans le devoir pour le correcteur car je trouve l'approche didactique très étrange.

[invitee4ef379f]

Bonjour,

S321, pas S123. J'y tiens espèce d'œuf de plume !

A mince oui, tu es nommé à l'envers!!

Bien j'y ferai attention, promis

Ceci étant dit, la table de dérivation que tu nous as donné ne te permet pas de dériver la fonction définie par f(x)=cos²(x). Il manque la dérivation d'une composition.

Je pensais que l'Indien Joe pourrait se servir de:

[invitee4ef379f]

Bonjour Joe,

Oui tu as le résultat.

Ce n'est pas x qui est élevé à la puissance n mais une fonction de x (en l'occurrence cosinus).

Je pense qu'une bonne partie de la notion tient dans cette phrase: la table que tu nous as donnée ne s'applique que pour manipuler "x" tout seul, et non pas une fonction de x.

Dans ton exercice, tu mets bien cos(x) au carré, et non x; la formule te donnant la dérivée de la fonction f(x) = x² ne peut donc pas s'appliquer. (Ou du moins il va falloir faire quelque chose en plus.)

Bon courage!

[inviteb14aa229]

Dans ton exercice, tu mets bien cos(x) au carré, et non x; la formule te donnant la dérivée de la fonction f(x) = x² ne peut donc pas s'appliquer. (Ou du moins il va falloir faire quelque chose en plus.)

Exactement. Donc dériver la fonction carré donne effectivement un facteur 2 comme quand on dérive x².
f(x) = x² -> f'(x) = 2x.
Ici, c'est pareil. Dériver cos²(x) va faire apparaître le même facteur 2. Donc dériver f(x) = cos²(x) va donner 2cos(x). Mais cela ne suffit pas ! Comme l'a dit Plume, "il va falloir faire quelque chose en plus". En effet, jusqu'à maintenant, on n'a dérivé que la fonction carré. Maintenant, il faut également dériver l'autre fonction, la fonction cosinus. Donc, il faut multiplier la "première dérivée", c'est-à-dire la dérivée de la fonction carré, donc 2cos(x), par la "seconde dérivée", c'est-à-dire la dérivée de la fonction cosinus, donc -sin(x).
D'où le résultat :
f(x) = cos²(x) -> f'(x) = -cos(x)sin(x).

Cela étant, il est en effet bizarre que l'on vous fasse faire un exo avant d'avoir étudié le cours.

Paminode

[invitee4ef379f]

D'où le résultat :
f(x) = cos²(x) -> f'(x) = -cos(x)sin(x).

Petite correction d'un oubli: f'(x) = -2.cos(x).sin(x).


J'ajouterai que ce genre de composition peut se faire avec autant de fonctions que l'on veut.

Ainsi, sur le même schéma, la fonction:
f(x) = (cos(3x))²

admettra comme dérivée:
f'(x)= 2*cos(3x)*(-sin(3x))*3 = -6.cos(3x).sin(3x)

En effet, dans ce dernier cas f est la composée de 3 fonctions :
x ---> 3x ---> cos(3x) ---> (cos(3x))²

Il faut donc commencer par dériver le carré:
f'(x) = 2*cos(3x) ...

Puis multiplier par la dérivée du cosinus:
f'(x) = 2*cos(3x)*(-sin(3x)) ...

Et enfin multiplier par la dérivée de 3x:
f'(x) = 2*cos(3x)*(-sin(3x))*3


Bon courage!

[inviteb14aa229]

Petite correction d'un oubli: f'(x) = -2.cos(x).sin(x).

Pardon !!

Paminode

[inviteb14aa229]

Monsieur Joe,

Est-ce que tout cela répond à votre interrogation ?

Paminode