Bonjour, je bloque depuis plusieurs heures sur un exercice et j'aurais vraiment besoin d'aide.
Cela concerne surtout la dernière partie du problème, les deux dernières questions plus précisément. Nous venons d'aborder les intégrales et les primitives et j'ai beaucoup de mal avec, alors si vous pouviez m'aider pour ces dernières questions. J'ai vraiment hâte de terminer ce DM ... Merci d'avance.
Alors voici l'énoncé :
Partie A: étude d'une fonction auxiliaire g:
Soit la fonction g sur par g(x) = (x²+2x-1)e^(-x)+1
1. Etudier les limites de g en +oo et en -oo
2. Calculer g'(x) et montrer que g'(x) et 3-x² ont le même signe.
3. En déduire le tableau de variations de g.
4.a) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions dans R . Vérifier que g(0) = 0. On note alpha la solution non nulle.
b) Prouver que -2,4 < alpha < -2,3.
5. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie B: étude de la fonction f:
1. déterminer les limites de f en -oo et en +oo.
2.a) Montrer que, pour tout réel x, f'(x) = g(x)
b) Dresser le tableau de variations de la fonctions f.
3. Démontrer que la droite d'équation D d'équation y=x est asymptote à la courbe C.
4.a) Montrer que la droite D et la courbe C se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées.
b) Etudier la position relative de la droite D et de la droite C.
5. Construire la courbe C et la droite D.
Je vous donne déjà rapidement mes réponses pour les deux premières parties :
Partie A :
1. Pour les limites j'ai trouvé 1 en +oo et +oo en -oo.
2. g'(x) = exp(-x) (-x²+3)
comme exp(-x) > 0, g'(x) et (3-x²) ont le même signe.
3. je trouve g décroissante sur ]-oo;-V3], croissante sur [-V3;V3] et décroissante sur [V3;+oo[.
4.a. j'ai trouvé une solution dans ]-oo;-V3[ (alpha) et une dans ]-V3;V3[ qui est 0.
b. g(-2.4) = 0.56 et g(-2.3) = -2.09
donc g(-2.3)<0<g(-2.4) donc -2.4<alpha<-2.3
5. g(x) positif losque x appartient ]-oo;alpha[u]o;+oo[ et g(x) négatif losque x appartient ]alpha;0[.
Partie B:
1.j'ai trouvé -oo en -oo et +oo en +oo
2.a. j'ai trouvé que f'(x) = g(x)
b. f est croissante sur ]-oo;alpha] et sur [0;+oo[ et f est décroissante sur [alpha;0].
3. j'ai fait f(x) - x = - (x²+4x+3)exp(-x) dont la limite en +oo est égale à 0 donc le droite D est bien asymptote oblique à Cf.
4.a. les solutions de x²+4x+3 = 0 sont -3 et -1 donc les deux abscisses sont (-1) et (-3) et comme ces points sont aussi sur D d'équation y=x, on a : A(-1;-1) et B(-3;-3).
b. en étudiant le signe de f(x) - x, j'ai trouvé que Cf est en dessous de delta lorsque x appartient ]-oo;-3]U[-1;+oo[ et Cf est au-dessus de delta lorsque x appartient [-3;-1].
5. /
Et voilà la fameuse Partie C :
1. Soit H la fonction définie sur R par :
H(x) = (ax² +bx +c)exp(−x) .
Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction H soit une primitive de la fonction h définie par :
h(x) = (x² +4x +3)exp(−x) .
2. déterminer l'aire, en unités d'aire, de la partie de plan limitée par la courbe (C ) et la droite (D).
3. Soit m un réel strictement supérieur à −1. On considère le domaine (Dm) délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d'équations respectives x =−1 et x =m.
a. Calculer l'aire (Am) du domaine (Dm), en unités d'aire.
b. Déterminer la limite de (Am) lorsque m tend vers +∞.
Pour la première question j'ai trouvé H(x) = ((1/3)x^3 + 2x² + 3x)exp(-x)
mais pour trouver les réels a,b etc, il faut partir de ax^3 + bx² + cx = (x- racine évidente) (ax²+bx+c), c'est cela ? mais je ne trouve pas la racine évidente, j'ai essayé 1, -1, 2 ... et ça marche pas
S'il vous plaît, aidez-moi pour ces questions, jusqu'à la 3.a. Je pense que je me débrouillerai pour la 3.b.
Merci d'avance. Cordialement.
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