droite et plan de l'espace

[invite7b771e43]

Soit A(1;1;3) et la droite d de représentation paramétrique x=1+2T y=2-T z=2+2T
Le but de cet exercice étant de calculer par deux maniére différente la distance homéga du pts A à la droite d.

1) premiére maniére. on va utiliser le fait que homéga est le minimun de la distance de A à un pt M parcourant la droite d.
Soit M le point de d obtenu pour la valeur t du paramétre.
On définit la fonction f par f(t)=AM²

a) exprimer f(t) en fonction de t
donc je fais:
soit M(2;-1;2)
AM(1;-2;-1)
AM=racine carré de 1²-2²-1²=racine carré de 6
soit f(t)=AM²=6

b) pour quelle valeur de t, f admet- elle un minimun?
la valer est 1. cependant je ne sais pas comment le justifier.

c)en déduire homéga
Je ne sais pas comment mis prendre pour résoudre cela.

Merci de votre aide.
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[invitedadbcc07]

Tu ne dois pas poser M(2;-1;2) mais tu dois simplement traduire le fait que M appartienne à la droite d, je te donne une piste :

Tu écris c'est à dire que M(t) à trois coordonnées x(t),y(t) et z(t) qui dépendent toutes de t.

Ensuite tu écris que M appartient à d c'est à dire :


Puis tu écris une fonction distance qui dépend de t qui est la distance de M(t) à A c'est à dire :



où Xa, Ya et Za représentent les coordonnées de A.

Pour la suite je te laisse te débrouiller.

[invite7b771e43]

donc cela nous fait f(t)=9t²+6t+11

Et il nous demande pour qu'elle valeur de t, f admet t'elle un minimun?
On peut prendre 1

Cependant, comment peut on en déduire homéga par la suite?

[invitedadbcc07]

Je ne suis pas d'accord avec ta valeur de f(t), je pense que tu devrais refaire le calcul.

Ensuite pour savoir pour quelle valeur de t f admet un minimum, il faut calculer la dérivée de f et résoudre l'équation f'(t)=0, tu obtiens alors une valeur de t (je la nomme t0) et c'est la valeur pour laquelle f est minimale, donc Oméga=Racine de f(t0).

En fait ta fonction f(t) est la fonction distance au carré d'un point M(t) qui appartient à la droite d au point A, et la distance de la droite d au point A est le minimum de cette distance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b771e43]

je trouve donc f(t)=9t²-6t+6
et f'(t)=18t-6
18t-6=0 <=> t=6/18

[invitedadbcc07]

Je suis d'accord, tu trouves donc bien oméga=1 ??

[invite7b771e43]

nn, je trouve 5.
Pouvis vous expliciter votre calcule?

[invite7b771e43]

eu nn racine de 5

[invitedadbcc07]

Bon alors je vais détailler pour refaire les calculs sur un support :



Donc

et on a

En espérant ne pas m'être trompé ...

[invite7b771e43]

Bon alors je vais détailler pour refaire les calculs sur un support :



Donc

et on a

En espérant ne pas m'être trompé ...

je crois que c'est faux car au début c'est:
(-2-2t)²+(-1+t)²...

[invitedadbcc07]

Je ne crois pas, dans chacun de tes carrés il faut la différence des deux coordonnées, c'est à dire (Xa-Xm)² ou (Xm-Xa)² puis avec les y et les z ...

A moins que nous ne prenions pas les mêmes valeur pour les coordonnées de A et l'équation paramétrique de d ...

[invite7b771e43]

Bon et bien on ne sit pas!!
Cepandant il y à une quetion ou on nous demande de déterminer un vecteur normal de P puis de trouver l'équation de son plan.
Sachant que le plan P passe par A et est perpendiculaire à d

Comment je peut faire?

[invitedadbcc07]

Ton plan est perpendiculaire à d, le vecteur directeur de d est donc un vecteur normal de P

si ton vecteur s'écrit alors ton plan P a pour équation :



Puis tu détermine d (le coefficient dans l'équation de P) en traduisant que A appartient à ce plan (c'est à dire que ses coordonnées vérifient l'équation de P)

[invite7b771e43]

mais on ne connait pas l'équation de la droite d!

[invitedadbcc07]

Bin tu connais son équation paramétrique, tu peux donc facilement déduire un vecteur directeur de d :



donc un vecteur directeur est par exemple (les coefficients devant t dans tes expressions de x,y et z.)

Ainsi ton plan a pour équation : et comme tu as soit

Ainsi est l'équation cartésienne de ton plan.