Ensemble complexe.

[Plume d'Oeuf]

Bonsoir.

Au risque de paraître idiot, j'ai un léger bug: je cherche à déterminer l'ensemble des complexes z vérifiant



En posant z = x+iy, je parviens à:



Et là c'est le drame: je n'arrive pas à me débloquer. J'ai bien la solution avec moi, mais je reste bugué sans parvenir à la comprendre. La ligne suivante de mon corrigé est



Quelqu'un pour m'illuminer?
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[Plume d'Oeuf]

Bon ban ça y est je suis débloqué.

Il faudrait vraiment que j'apprenne à manipuler les arctangentes...

Merci moi, c'était tout simple.

[Plume d'Oeuf]

Ah non j'ai toujours une erreur de signe. Si quelqu'un a une brève explication je suis preneur.

Merci!

[Plume d'Oeuf]

Ah non à nouveau plus besoin, j'ai résolu mon problème, pour de bon cette fois ci. C'était bien une erreur de signe, désolé pour ce fil totalement inutile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Plume d'Oeuf]

Bien, toujours dans la même lancée: soit l'ensemble des complexes z définis par:



a, b complexes et réel n'appartenant pas à de

Cet ensemble est un cercle passant par les points d'affixe a et b, et ensuite privé du point d'affixe b.

Quelqu'un connaît la démonstration de ce truc là? Ou du moins peut me mettre sur la voie?

Merci d'avance.

[SchliesseB]

on pose y=z-(a+b)/2

z-a=y+(b-a)/2
z-b=y-(b-a)/2

je pose donc r=(b-a)/2



r n'est pas nul (sinon b=a et c'est gagné, pas de solution) mais r est complexe
on peut poser y=r x exp(i k) (x et k réel)



reste a trouver l'argument de ce truc
(formule arctan (Im/Re) car Re>0)




faut continuer pour trouver x=1 et aucune condition sur k

[SchliesseB]

je peux plus éditer...

donc
faut continuer pour trouver x=1 et aucune condition sur k (en prenant la tangente, utilisant tan(a+b) en fonction de tan(a) et tan(b) par exemple...mais y'a peut etre plus simple sur la fin)
autre methode plus simple, quand tu as
(z'=xexp(ik)) tu utilises ta méthode (z'=x+iy) et tu devrais tomber sur x^2+y^2=1

[Rhodes77]

Bonjour,

Déjà, trop marrant les posts de Plume d'Oeuf
Ensuite, j'adopte une méthode géométrique, je ne sais pas si c'est ce qui vous intéresse mais je donne ma ptite idée.

La grandeur est donné, géométriquement, par l'angle là où A est le point d'affixe a, B le point d'affixe b et M le point d'affixe z.
Chercher , c'est chercher .

Or on se souvient que dans un cercle, si deux angles au sommet interceptent le même arc, alors ils sont égaux entre deux. De plus, la réciproque de cette propriété est vérifiée. Ainsi, le lieux recherché est un cercle, dont l'angle au sommet qui intercepte l'arc AB est .

Bon, ce qui est un peu embetant, c'est que la valeur de l'angle change selon qu'on place le point M dans l'un ou l'autre des deux arcs AB (c'est clair ce que je dis ? un grand arc et un petit arc qui, quand on les joint, retracent le cercle passant par A et B)

Qu'en pensez-vous ?

[Plume d'Oeuf]

Pwet!

Merci pour vos réponses à tous les deux.

A SchliesseB: je n'ai pas très bien compris ce passage là:

Mais le fait de réexprimer le quotient de départ sous une forme (z+1)/(z-1) me plaît bien. Je vais creuser de ce côté là.


A Rhodes77:

(c'est clair ce que je dis ? un grand arc et un petit arc qui, quand on les joint, retracent le cercle passant par A et B)

C'est très clair, et je n'avais pas vu les choses comme ça ; ça me conforte dans l'idée que c'est bien un cercle que l'on trouve Je vais essayer de formaliser tout ça, je verrai bien sur quoi je tombe!


D'un autre côté, je viens de lire quelque chose qui m'a mis la puce à l'oreille. Reprenons les notations de Rhodes77, j'ai donc 3 points A,B et M qui sont, au final, sur le même cercle. On peut donc voir ce cercle comme le cercle circonscrit au triangle ABM. D'où l'idée de poser deux points A et B et de chercher M comme l'ensemble des points tel que le point d'intersection des médiatrices de ABM soit fixe (pour un rayon donné).


Encore merci pour vos réponses, je vais creuser!

[Plume d'Oeuf]

Bon, ce qui est un peu embetant, c'est que la valeur de l'angle change selon qu'on place le point M dans l'un ou l'autre des deux arcs AB (c'est clair ce que je dis ?

C'est pour ça qu'il y a un [] dans la formule de départ.

Il est possible que ce soit la solution la plus simple. J'investigue!

[Plume d'Oeuf]

Ouep, je vais me contenter de l'explication géométrique pour le moment.

Le "modulo " s'explique très bien par des petits arrangements sur les angles tous simples.

Je posterai si je parviens à formaliser ça avec des arctangentes à gogo.

[Plume d'Oeuf]

Bon pour conclure:

Avec les changements de variables proposés par SchliesseB et en posant y = Y+Y' et r = R+R', on montre assez facilement avec un calcul tout ce qu'il y a de moins subtil que y évolue sur un cercle passant par les points d'affixes respectives a-(b+a)/2 et b-(b+a)/2, de centre tan()(R'-iR) et de rayon (R²+R'²)(1+tan²).

Or l'ensemble des y n'est qu'une translation de l'ensemble des z, donc ce dernier décrit un cercle passant par les points d'affixes a et b, duquel on exclue le point d'affixe b.

Il y a juste des considérations à avoir quand =/2, mais tout se tient (du moins dans ma tête).

Merci à vous deux!

[Rhodes77]

Bien joué !