Concernant la fonction exponentielle...

[Wöler]

Je ne comprends pas un des tenants d'une démonstration sur la fonction exponentielle :

Théorème admis : Il existe une fonction dérivable sur R telle que pour tout x E R, f'(x)=f(x) et f(0) = 1 (jusque là pas de problème).

Une des conséquences (admise) : f(-x)*f(x) = 1.

C'est justement la démonstration de cette conséquence qui me pose problème.

Soit E la fonction définie sur R par E(x) = f(-x)*f(x). (ok)

On cherche la dérivée de E et on obtient E'(x) = -f'(-x)*f(x) + f'(x)*f(-x) (jusque là pas de problème non plus).

On sait que f'(x) = f(x) (définition de la fonction exponentielle).
Seulement dans mon cours on pose f'(-x) = f(-x) alors qu'on avait mis précédemment que f'(-x) = -f(-x) et alors même que (e(-x))' = -e(-x).

Pourquoi pose-t-on cette égalité qui ne me semble pas vérifiée par la fonction exponentielle ?

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce point...

Merci d'avance.

Wöler.
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[invite83f03d71]

si tu appliques la formule
tu as bien
or et
donc
d'où

[Flyingsquirrel]

Salut,

On sait que f'(x) = f(x) (définition de la fonction exponentielle).
Seulement dans mon cours on pose f'(-x) = f(-x) alors qu'on avait mis précédemment que f'(-x) = -f(-x) et alors même que (e(-x))' = -e(-x).

Pourquoi pose-t-on cette égalité qui ne me semble pas vérifiée par la fonction exponentielle ?

Attention aux notations : est la valeur prise par en et pas autre chose. Si est l'exponentielle on a bien (puisque ) mais pas (puisque ).

Par contre (toujours avec ) la dérivée de l'application est bien , seulement cela ne se note pas .

[Wöler]

elle devrait se noter [f(-x)]' à ce moment là si j'ai bien compris.

Si on pouvait me le confirmer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

elle devrait se noter [f(-x)]' à ce moment là si j'ai bien compris.

Bof, non. Si est une fonction désigne sa dérivée mais ça n'a pas vraiment de sens (ou en tout cas pas celui que tu veux lui donner).

Il vaut mieux définir une nouvelle fonction par pour tout réel . Là on peut écrire que .