Équation paramétrique d'un plan

[invitec243a428]

Bonjour,

J'ai accès aux équations suivantes :

Plan II:
x= 2+3r-5s
y=-1+2r+s
z=3-2r-7s
où r,s sont éléments des réels

Je dois trouver un point du plan, je crois que (2;-1;3) est valide?

Ensuite, je doit vérifier si le point A(15;-1;15) est un point du plan, je n'ai pas réussi à trouver le moyen de le prouver sans utiliser l'équation cartésienne car c'est la question suivante.

D'ailleurs, croyez vous que c'est exacte si j'affirme que l'équation cartésienne est la suivante : -12x + 31y +13z +16 = 0

Ma principale question ici est de prouver que le point A fait partie du plan sans l'aide de l'équation cartésienne. Je n'ai pas trouvé comment !

Merci !!
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[invite332de63a]

Bonjour,
pour le prouver il faut que tu résolve le sytème suivant (pour trouver r et s qui correspondent à ce point):

15 = 2+3r-5s
-1=-1+2r+s
15=3-2r-7s

Sinon pour ton équation je trouve la même chose (si je n'ai pas fais d'erreur)

Bonne chance, RoBeRTo

[inviteb9469e86]

Le point correspondant à r = s = 0 a pour coordonnées (2;-1;3) et appartient au plan
Ton problème est de trouver r et s tels que
x_A= 2+3r-5s
y_A= -1+2r+s
z_A= 3-2r-7s
où r,s sont éléments des réels

tu dois donc résoudre :
2 + 3 r - 5 s = 15
-1 + 2 r + s = - 1
3 - 5 r - 7 s = 15
soit résoudre
3 r - 5 s = 13
2 r + s = 0
- 5 r - 7 s = 12

donc tu remplaces s par - 2 r dans la première et la troisième équation :
13 r = 13 donc r = 1
- 5 r + 14 r = 12 soit 9 r = 12 donc r = 4/3
les deux valeurs de r ne sont pas identiques, A n'appartient pas au plan II

Pour l'équation cartésienne, je présume que tu as éliminé r et s entre les 3 équations, je n'ai pas fait les calculs

[invitec243a428]

Merci à tous ! C'est super apprécié

Pour le point A, c'est bien ce que j'avais pensé, j'aurais dû me faire un peu plus confiance !

Cherchell:

Pour le point A, je crois que tu as fais une erreur de retranscription, il s'agit de résoudre - 2 r - 7 s = 12 et non - 5 r - 7 s = 12. Dans ce cas, si je ne me trompe pas, le point A est bien dans le plan avec s=-2 et r=1.

Un grand merci pour votre aide !

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

...

tu dois donc résoudre :
2 + 3 r - 5 s = 15
-1 + 2 r + s = - 1
3 - 5 r - 7 s = 15
soit résoudre
3 r - 5 s = 13
2 r + s = 0
- 5 r - 7 s = 12

La dernière équation est -2r -7s = 12

La solution exacte est s=-2 et r=1. Le point appartient donc au plan.
Et l'équation cartésienne est bonne aussi.