Polynome de Mac-Laurin (exercice)

[Joe l indien]

Bonjour,

Il m'est demandé d'écrire les polynômes de Mac-Laurin de degrés 1,2,3 et 4 associés à la fonction f(x)=e^x

Je ne sais pas si ma réponse est juste mais la voici :

P₄(x) = f(0) + x.f'(0) + x⁽²⁾/2! .f⁽²⁾(0) + x³/3! .f⁽³⁾(0) + x⁴/4! .f⁽⁴⁾(0)

Or (e^x)'= e^x et le résultat est le même pour la dérivée seconde, troisième, etc...

Par conséquent :
f(0)=e⁰=1 (me semble-t-il)
f⁽²⁾(0)=e⁰=1
Ainsi de suite...

Donc en plaçant la valeur 1 dans le calcul, j'obtiens :

P₄(x) = 2x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4!

Il y a d'autres questions mais je les posterai lorsque je serai certain que ceci est déjà juste !
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[Joe l indien]

Non, je crois qu'en me relisant j'ai peut-être fait une erreur, la réponse d'après moi est plutôt :

P₄(x) =

[Cuv]

Salut,

tu as fait une petite erreur, tu as raison de dire que dans tous les termes exp(0)=1, mais donc f(0)=1 et xf'(0)=x, ton polynôme vaut donc

P(x)=1+x+x²/2+x^3/6+x^4/24

[Joe l indien]

Cuv, on s'est croisés de quelques secondes sur ce coup
La réponse est désormais bonne je crois!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cuv]

yep c'est bon tu t'es corrigé tout seul !

[Joe l indien]

Je dois ensuite employer le polynôme de degré 4 pour calculer une valeur approchée de e^0,1.

J'obtiens

Est-ce juste?

[Cuv]

Nop ! Tu fais une erreur,

Les polynômes de Mac-Laurin permettent d'approximer une fonction au voisinage de 0. Donc en fait que tu écris :

tu peux en fait écrire que au voisinage de 0

Ainsi lorsqu'on te demande de calculer une valeur approchée de tu remplaces simplement par 0,1 dans ton polynôme, tu as donc

voilà ton approximation, pour info la valeur exacte vaut 1,1057092 et l'approximation par les polynômes de Mac-Laurin 1,10517083, plutôt précis hein

[Joe l indien]

oui en effet je me doutais qu'il y avait erreur.
Je suis pas vraiment matheux et je suis vite perturbé ici en l'occurrence par la lettre "e" !
Merci pour l'aide.

[Joe l indien]

Pour le dernière question de la série, on me demande de trouver une valeur approchée de cos 50° à l'aide du polynome de Taylor de degré 2 développé autour de Pi/4.

J'aimerais bien or pour tous les exercices corrigés précédents, lorsque il y avait par ex une valeur sin 40° on donnait que ça valait sin 2Pi/9.

Or ici on ne me dit pas ce que "vaut" cos50° et cela n'a jamais été expliqué comment je pouvais trouver la valeur (comme les 2 Pi/9 par ex) donc je suis bloqué.

Quelqu'un peut-il me dire combien vaut cos50° pour que je puisse avancer dans l'exercice?

[Cuv]

re-Salut !!

alors les développements de Taylor fonctionnent un peu comme ton polynôme de Mac-Laurin. La formule générale est qu'une fonction , dérivable fois est avoisinée au voisinage d'un point par la formule :

tu vois que tu as aussi un polynôme de degré en faisant intervenir les dérivées successives de au point . Tu remarques aussi qu'en posant on se ramène à un développement en polynôme de Mac-Laurin au voisinage de 0.

Bref revenons à nos moutons. On te demande donc d'effectuer un développement de Taylor de au voisinage de , il te suffit donc de remplacer bêtement les termes dans la formule précédente en t'arrêtant au degré 4. On va travaillé en radians, dans ce cas on écrit Tu obtiens alors :

Voilà, le tour est joué, il ne te reste plus qu'à savoir que :



et à faire ton calcul...

Pour info, tu devrais trouver , et la valeur exacte vaut . Prend bien garde aux unités de ta calculatrice (Radians/Degrés).

Bonne soirée !!

[Cuv]

Petite remarque, ce n'est pas la valeur exacte que je t'ai donné mais la valeur de cos(50°) ) deux décimales. De plus je te conseille de refaire les calculs, notamment vérifie les signes je me suis embrouillé avec les balises TeX...

[Cuv]

l'ordre des signes est faux, je me suis planté, c'est + - - + +

[Joe l indien]

Super les explications, un grand merci

J'obtiens la réponse 0,64270...

A la calculatrice Cos 50° = 0,64278...

Donc c'est impeccable !


PS : je n'ai pas compris comment les 5 PI/18 ont été obtenus.

A+

[Cuv]

Les viennent de la conversion de en radians. Tu as l'équivalence suivante :

donc si on note la mesure de degrés en radians d'où

c'est plus claire ?

[Joe l indien]

Les viennent de la conversion de en radians. Tu as l'équivalence suivante :

donc si on note la mesure de degrés en radians d'où

c'est plus claire ?

C'est très clair, merci