DM de Maths, Terminale S (les suites)

[inviteaa1a444d]

Bonjours, j'ai un DM de math mais je n'arrive pas a démarer

On considère la suite (Un) définie par :
U0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, un+1 = (1/3)Un + n - 1
Soit Vn la suite définie par Vn= 4Un - 6n + 15 pour tout entier naturel n

1) Montrer que Vn est une suite géométrique

2) Calculer V0 puis calculer Vn en fonction de n
en déduire que pour tout entier naturel n

Un = (19/4) x (1/3^n) + (6n - 15)/4

3) montrer que la suite (Un) peut s'écrire sous la forme Un = tn + Wn , où (Tn) où Tn est une suite géométrique et (Wn) une suite arithmétique.
4) calculer :
Tn = t0 + t1 + t2 + ... + tn et Wn = w0 + w1 + w2 + ... + wn
En déduire Un = U0 + U1 + ... + Un

Pour 1) je me dis que si Vn est géométrique alors Vn x q = Vn +1 ?
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[Plume d'Oeuf]

Bonjour, bienvenue sur le forum.

En effet si V_n est géométrique alors V_n+1 = V_n*q, avec q la raison de ta suite. Sauf qu'on te demande de prouver que V_n est géométrique: tu ne peux donc pas commencer par supposer qu'elle l'est!

Il faut faire le raisonnement inverse: avec les données du problème, tu arrives à une formulation de V_n+1 qui soit de la forme q*V_n, et tu en déduis que V_n est géométrique.

Que commences tu par calculer du coup?

[inviteaa1a444d]

ça m'embrouille du coup ?

Vn+1 = Vn x q

si je fais (Vn+1)/Vn = q ?
mais je ne connais pas Vn+1

[Plume d'Oeuf]

Tu ne sais pas si V_n+1= q*V_n. C'est ce que tu cherches à obtenir!

C'est donc normal que tu ne connaisses pas V_n+1, puisque c'est ce que tu dois calculer et simplifier pour arriver sur une forme du type V_n+1= q*V_n, et ensuite en déduire que ta suite est géométrique.

Je crois que je t'ai déjà donné pas mal d'indices pour commencer ton exercice là

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaa1a444d]

= (4Un+1- 6(n+1) +15)/(Vn)
= (4Un+1- 6(n+1) +15)/(4Un - 6n +15)
= (4((1/3)Un + n-1) - 6(n+1) +15)/ (4Un - 6n +15

mais comment trouver Un ?

[Plume d'Oeuf]

Je ne comprends pas ce que tu as fait. Pourquoi y a-t-il un signe égal sans premier membre?

[inviteaa1a444d]

q = (Vn+1)/Vn

donc j'ai remplacé. le premier membre est q

[Plume d'Oeuf]

On ne te demande pas de trouver q: tu ne sais même pas si ta suite est géométrique puisque tu ne l'as pas démontré. Comment pourrais-tu savoir qu'elle a une raison?

La raison se trouve une fois qu'on a démontré que la suite est géométrique.

Pour ce faire, il faut calculer V_n+1 et regarder la forme qu'elle a. SI JAMAIS on obtient une expression du type V_n+1 = q*V_n (q réel), ALORS la suite est géométrique de raison q.

[inviteaa1a444d]

ah oui je vois ..
Vn+1 = (4((1/3)Un + n-1) - 6(n+1) +15)
Vn+1 = 4((1/3)Un) + 4n -4 - 6n -6 +15
Vn+1 = 4((1/3)Un) - 2n +5

cette forme ?

[Plume d'Oeuf]

En effet. Est ce que tu peux maintenant passer sous la forme V_n+1 = q*V_n?

[inviteaa1a444d]

j'essai de voir le lien entre le Vn donné et le Vn+1 que j'ai trouvé mais que dois-je faire pour l'en extraire ?

Vn+1 = q * Vn

4((1/3)Un) - 2n +5 = q * 4Un - 6n + 15

[4((1/3)Un) - 2n +5]/(4Un - 6n + 15) = q

La simplification me perturbe..

[Plume d'Oeuf]

Encore une fois tu ne sais toujours pas si V_n+1 = q*V_n puisque tu ne l'as pas trouvé. Je vais reformuler.

Je suis d'accord avec toi quand tu écris:
V_n+1 = 4/3U_n - 2n +5

Ne peux tu donc pas exprimer V_n+1 en fonction de V_n?

[inviteaa1a444d]

Non c'est évident le rapport entre les deux mais je ne vois comment faire pour trouver la forme q*Vn.

[Plume d'Oeuf]

C'est quoi le rapport entre les deux, s'il est évident?

[inviteaa1a444d]

je vois clairement apparaitre la même forme dans Vn et dans Vn+1
et un autre avec Un+1.. mais quel est le lien ?

[Plume d'Oeuf]

Hum... Tu as:

V_n = 4/U_n-6n+15
V_n+1 = 4/3U_n-2n+5

Et tu ne trouves pas le lien entre les deux? Je pense t'avoir donné suffisamment d'explications jusque là, alors je te laisse chercher.

Bon courage!

[inviteaa1a444d]

1/3Vn ??????

[Plume d'Oeuf]

Bah oui...

[inviteaa1a444d]

je dois trouver Vo, Un et Vn en fonction de n ? comment faire ?

[pi-r2]

v0 ça doit pas être trop dur non ?

[inviteaa1a444d]

mais pour Vo, je ne doit pas avoir Un ?

[pi-r2]

on se calme et on respire. V0 c'est pour n=0 donc il te faut U0. ça tombe bien, tu l'as

[inviteaa1a444d]

du coup je fais V0 =4Uo - 6o + 15
ça donnerais 19 ? le -6o me perturbe ?

[inviteaa1a444d]

ah illumination !!

Un = (19/4) x (1/3^n) + (6n - 15)/4
Un = (Vo/4) x (1/3^n) + (6n - 15)/4

mais je ne comprend pas le 3^n et les 4 au dénominateur !?

[pi-r2]

le -6o me perturbe ?

C'est ce genre de petites perturbations qui doivent te faire paraitre les maths difficiles. Ne pas oublier que pour simplifier (et par flemme) on oublie le signe x
Si tu le remets, ça fait 6 x 0 et ça fait 0.

[pi-r2]

mais je ne comprend pas le 3^n et les 4 au dénominateur !?

çà veut dire quoi que tu ne comprends pas ? C'est le résultat de ton calcul, il n'a pas à être compris,il est. C'est quoi qui te gène ?

[inviteaa1a444d]

oui après reflexion j'ai mis le signe "x"..
mais après avoir trouvé Vo, que dois-je faire ? c'est ça que je ne comprend pas..
Vn en fonction de n mais comment ?

[pi-r2]

ben tu as démontrés que Vn est une suite géométrique dotn tu as la raison. Donc tu peux calculer Vn directement en fonction de n et pas de Un.
et une fois que tu as Vn tu calcules Un

[inviteaa1a444d]

si j'ai bien compris,

Vn = Vo x q^n
Vn = 19 x (1/3)^n
Vn = 19^n


et Un = Vn + 1 ?

[pi-r2]

Vn = 19 x (1/3)^n
Vn = 19^n

c'est quoi la dernière ligne ???