équation avec changement d'inconnue

[Paminode]

2x/x = 2

Donc
Y²=x²+2x/x+(1/x)² = x²+2+(1/x)²

Donc :
Y = x + 1/x
Y²= x²+2+(1/x)²
Comment exprimes-tu l'équation de départ en faisant disparaître les x et en utilisant les Y ?
-----

[Paminode]

1/x²=1 aussi

Mais non. A quel titre ?

[invitea306da7c]

Y+Y²-4
c'est bien sa??

[Paminode]

Reprenons :

(E): x²+x-4+1/x+1/x²=0
Tu peux regrouper les x et 1/x et faire intervenir Y.
Tu peux regrouper les x² et 1/x² et faire intervenir Y².
Mais attention :
Y² ce n'est pas seulement x² + 1/x²
Il y a aussi le 2.

[invitea306da7c]

Y+Y²-6 alors?

[Paminode]

Voilà.

Il n'y a plus qu'à résoudre :
Y² + Y - 6 = 0
Puis :
x + 1/x = Y₁ et Y₂

[invitea306da7c]

Y²+Y-6
delta=5²
comme delta sup a 0 le trinome admet 2 racines
x1=2
x2=3

[invitea306da7c]

x + 1/x = Y1 et Y2

donc j'ai plus qu'à remplacé x+1/x se transforme en 2+1/3?

[Paminode]

Y²+Y-6
delta=5²
comme delta sup a 0 le trinome admet 2 racines
x1=2
x2=3

Non, c'est Y₁ = 2 et Y₂ = - 3 (moins 3)

x + 1/x = Y1 et Y2

donc j'ai plus qu'à remplacé x+1/x se transforme en 2+1/3?

Non :
x + 1/x = Y₁ = 2
et :
x + 1/x = Y₂ = - 3
D'où x₁ et x₂

[invitea306da7c]

donc la c'est bon les solution de l'équation sont S={2;-3}

[Paminode]

Non, les solutions seront x₁, x₂, x₃ et x₄.
Pour l'instant vous avez seulement Y₁ et Y₂.
Comme j'ai dit, il faut maintenant résoudre :
x + 1/x = 2 , ce qui donnera x₁ et x₂.
et :
x + 1/x = - 3 , ce qui donnera x₃ et x₄.

[invitea306da7c]

d'accord donc x+1/x=2
x+1=2x
2x-x-1=0
x-1=0
x=1

[invitea306da7c]

et x+1/x=-3
x+1=-3x
-3x-x-1=0
-4x-1=0
-4x=1
x=-1/4

mais je ne trouve pas 2 solutions...y'aurait-il un problème?

[Paminode]

je ne trouve pas 2 solutions...y'aurait-il un problème?

Il y a un problème.

x+1/x=2
(x+1/x)*x=2*x
D'où, quand on enlève les parenthèses ?
De même :
x+1/x=-3
(x+1/x)*x= -3*x

[invitea306da7c]

Il y a un problème.

x+1/x=2
(x+1/x)*x=2*x
D'où, quand on enlève les parenthèses ?
De même :
x+1/x=-3
(x+1/x)*x= -3*x

je ne comprends pas...

[invitea306da7c]

c trop compliqué sa vous pourriez reprendre svp

[invitea306da7c]

ahhhhhhhh j'ai compris il faut que sa me donne 2 trinome pour 4 solutions EUREKA!!!

x+1/x=2 je dois transformer sa et sa doit me donner un trinome de degrés 2 et je fais de meme pour l'autre...
maintenant faut que j'arrive a supprimer cette barre de fraction pour 1/x

[Paminode]

ahhhhhhhh j'ai compris il faut que sa me donne 2 trinome pour 4 solutions EUREKA!!!

x+1/x=2 je dois transformer sa et sa doit me donner un trinome de degrés 2 et je fais de meme pour l'autre...
maintenant faut que j'arrive a supprimer cette barre de fraction pour 1/x

Voilà, vous avez compris l'idée.
Seulement vous avez fait une erreur.
Vous avez écrit :

x+1/x=2
x+1=2x

Il faut effectivement multiplier les deux membres de l'équation x+1/x=2 par x pour supprimer le /x.
Ce qui donne bien 2x dans le second membre comme vous l'avez écrit.
Dans le premier, on a bien x * 1/x = 1.
Mais qu'en est-il du premier terme x ?

[invitea306da7c]

donc en fait moi comme résultat définitif j'ai trouvé:
(x+1/x)*x=Y1
x²+1=-3x
x²+3x+1=0
delta=5
le trinome a 2 solutions x1=-3-racine5/2 et x2=-3+racine 5/2

ensuite:
x+1/x=Y2
(x+1/x)x=2*x
x²-2x+1=0
delta=0 le trinome a une racine x0=1
donc en définitif j'ai S={2;-3;-3-rac5/2;-3+rac5/2;1}

est ce que c'est les bonnes solutions par contre j'ai un petit probleme au lieu de 4 solutions j'en trouve 5c'est normal??

[invitee2a279ac]

Bonjour guess93,

Tu as en effet trouver les quatre solutions de l'équation (E) mais attention, il ne faut pas inclure les solutions Y₁ et Y₂ :

Y est seulement une inconnue auxilliaire pour mieux "visualiser" le polynôme. Donc 2 et -3 ne sont pas solutions de (E).
L'ensemble solution est S = { ; -1; }

Il peut sembler étrange qu'il n'y ait que 3 racines, mais en fait il y en a bien 4 car -1 est une racine double.

PS : Le polynôme dont tu viens de déterminer les racines est appelé polynôme réciproque. Il est intéréssant de remarquer que tout polynôme réciproque de degré 4 (en fait, de degré paire seulement) se résout en utilisant toujours l'inconnue auxilliaire .
Je t'invite à aller sur ce site si tu veux en savoir plus :

http://homeomath.imingo.net/polyrec.htm

Sh0nty

[invitea306da7c]

bonjour Sh0nty,
je te remercie pour le site sur les polynomes réciproque je n'en avais jamais entendu parleret merci aussi pour avoir confirmer mes réponses

merci à vous aussi Paminode pour le temps que vous avez passé à essayer de me faire comprendre la façon de résoudre cette équation

encore MERCI...

[invitee2a279ac]

Bonjour guess93,

L'ensemble solution est S = { ; -1; }

Petite rectification, c'est 1 qui est solution et non -1

Sh0nty

[Paminode]

ensuite:
x+1/x=2
(x+1/x)x=2*x
x²-2x+1=0
delta=0 le trinome a une racine x0=1

Bonjour Guess;

En fait x = 1 est ce qu'on appelle une racine "évidente", puisque x²-2x+1 est de la forme a² - 2ab + b², c'est-à dire (a - b)².
Donc x²-2x+1 = (x - 1)², et on voit tout de suite que x = 1 est une solution double.
Et de fait, si l'on revient à l'équation de départ, (E): x²+x-4+1/x+1/x²=0 , on discerne rapidement que x = 1 est solution.

PS : Le polynôme dont tu viens de déterminer les racines est appelé polynôme réciproque. Il est intéréssant de remarquer que tout polynôme réciproque de degré 4 (en fait, de degré pair seulement) se résout en utilisant toujours l'inconnue auxilliaire .
Je t'invite à aller sur ce site si tu veux en savoir plus :

http://homeomath.imingo.net/polyrec.htm

Sh0nty

En effet, l'équation x²+x-4+1/x+1/x²=0 est en fait une équation du quatrième degré, car si on la multiplie par x²(différent de 0), on obtient : x⁴+x³-4x²+x+1=0 (l'exercice aurait d'ailleurs pu donner l'équation sous cette forme, ce qui aurait rendu l'exercice moins intuitif).
Or les équations de degré 4 sont généralement difficiles à résoudre. Celle-ci n'est facilement soluble qu'en raison de sa structure, comme l'a dit Shonty.
L'astuce du changement d'inconnue pour résoudre des équations complexes est à retenir.
Un autre exercice classique est la résolution de ax⁴ + bx² + c = 0, ce que l'on appelle une équation "bicarrée" (il n'y a que des termes de degré pair), et que l'on résout en posant x² = X, ce qui ramène l'équation à aX² + bX + c = 0, d'où X₁ et X₂, puis résoudre : x² = X₁ et x² = X₂, ce qui va de nouveau donner 4 solutions (logique, puisque l'équation est de degré 4).

merci à vous aussi Paminode pour le temps que vous avez passé à essayer de me faire comprendre la façon de résoudre cette équation
encore MERCI...

Je t'en prie. Essaie de mémoriser l'astuce, elle pourra peut-être te resservir.

[invitea306da7c]

waou oui j'ai vu l'erreur shOty c'est bien1 mais est-ce que je peux demander encore une dernière chose aprés promis je me tais...
pour le trinome Y+Y²-6 j'arrive pas à m'éxpliquer comment on en est arrivé a ce résultat qu'est -6.J'ai relu toutes les réponses fournies et j'ai éssayer de refaire mais le -6 reste un mystere pour moi

[invitea306da7c]

"Or les équations de degré 4 sont généralement difficiles à résoudre."Paminode...



je confirme ce sonr des équations difficiles meme trés difficile à résoudre

[invitea306da7c]

Un autre exercice classique est la résolution de ax⁴ + bx² + c = 0, ce que l'on appelle une équation "bicarrée" (il n'y a que des termes de degré pair), et que l'on résout en posant x² = X, ce qui ramène l'équation à aX² + bX + c = 0, d'où X₁ et X₂, puis résoudre : x² = X₁ et x² = X₂, ce qui va de nouveau donner 4 solutions (logique, puisque l'équation est de degré 4).

il me semble qu'on a vu cette méthode en cours mais je crois que j'aurais pas su l'utiliser dans ce cas-ci

[invitea306da7c]

-6 et pas -4 mais...POURQUOI??

[Paminode]

On a :
x² + x - 4 + 1/x + 1/x² = 0

On pose : Y = x + 1/x
On calcule : Y² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
Donc :
Y² + Y = x² + x + 2 + 1/x + 1/x²
Or nous, ce que l'on veut, c'est : x² + x - 4 + 1/x + 1/x²
Pour passer de +2 à -4, il faut bien retrancher 6, non ?
Ou si tu préfères :
x² + x - 4 + 1/x + 1/x² = [x² + x + 2 + 1/x + 1/x²] - 6 = Y² + Y - 6

[Paminode]

On a :
x² + x - 4 + 1/x + 1/x² = 0

On pose : Y = x + 1/x
On calcule : Y² = (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
Donc :
Y² + Y = x² + x + 2 + 1/x + 1/x²
Or nous, ce que l'on veut, c'est : x² + x - 4 + 1/x + 1/x²
Pour passer de +2 à -4, il faut bien retrancher 6, non ?
Ou si tu préfères :
x² + x - 4 + 1/x + 1/x² = [x² + x + 2 + 1/x + 1/x²] - 6 = Y² + Y - 6

[invitea306da7c]

Pour passer de +2 à -4, il faut bien retrancher 6, non ?

EN fait il fallait juste faire 2+x=-4
x=-4-2
x=-6


J'ai COMPRIS^^....
merci,merci,merci,...et merci!