Devoir Maison de Maths

[invitef8537cb8]

Bonjour à tous et à toutes,

si une personne voudrais me répondre cela m'aiderais beaucoup ^^ :
Voilà l'énoncé où je bloque :

2. On pose, pour tout réel x, P(x) =2x³ + 7x²-13x-18.
a) Démontrer que quels que soient les réels x et r, P(x) - P(r) peut se factoriser par (x - r).
b) En déduire la factorisation de P(x) par (x-2)
c) Résoudre l'équation P(x) = 0 (ça je crois que je sais faire) ^^

Merci d'une réponse, vous gagnerez tous mes applaudissements

Au moment de rédiger votre message il y a une barre en haut ouvrant plusieurs options. Parmi elles se trouvent la mise en exposant (X²) ou en indice (X₂). piwi
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[invite2103f7d3]

Pour la première question je pense qu'il faut que tu reviennes à une définition de la factorisation d'un polynôme qui peut être :

Soit un polynôme P de degré n, alors P(a)=0 si et seulement si il existe Q tel que

Là en l'occurrence, il faut factoriser P(x)-P(r) par (x-r) pour tout x et r.

C'est à dire qu'il faut montrer soit :
(1) Qu'il existe Q tel que P(x)-P(r)=(x-r)Q(x) pour tout x et r

Soit :
(2) Que le polynôme P(x)-P(r) s'annule en x et en r.


PS : à toi de voir quelle méthode est la plus simple !

[invitef8537cb8]

Merci mais à quoi est égale à r ?????

[invite2103f7d3]

Pourquoi en aurais-tu besoin ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8537cb8]

Ben comment je fais pour dire que P(r) et P(x) s'annulent ?

[invite2103f7d3]

P(x) et P(r) n'ont pas besoin de s'annuler, il faut que P(x)-P(r) s'annule en x et en r. Tu dois donc "calculer" P(x)-P(r) en x et en r.

[invite652ff6ae]

Il faut que P(x) - P(r) = 0, pas que P(x) = 0 et P(r) = 0 !

Pour voir les choses plus simplement, tu n'as qu'à poser le polynôme :

Q(x) = P(x) - P(r).

Tu dois montrer que Q(x) se factorise par (x-r).

[invitef8537cb8]

Ouai mais on ne connais pas r, P(r); Q; Q(x)

[invite652ff6ae]

On s'en fiche : tu vois bien que si tu remplace x par r tu as Q(r) = P(r) - P(r) = 0

donc Q se factorise par (x-r).

[invitef8537cb8]

LOL c'est a ne plus rien comprendre j'espere que c'est pas au programme de 1ere sinon jvai couler ^^
Alors P(x) = l'équation avec les x
Alors P(r) = l'équation avec les r
Et Q(x) = P(r) = P(x) ??

Comment je fais pour mettre ça sur la copie parce que le prof va rien comprendre XD

[invite2103f7d3]

Nan oublie le Q(x) c'est pas important.
Ce que tu dois montrer c'est que en xet en r, P(x)-P(r)=0, la preuve :

En x : (P(x) -P(r))(x) = P(x)-P(x) = 0
En r : (P(x)-P(r))(r) = P(r)-P(r) = 0

Et voilà tu as répondu à la question 1.
Dis moi si ça te pose encore un problème.

[ansset]

je vous trouve un peu compliqué avec the cobra.
P(x)= 2x^3 +7x² -13x-18
P(r)= 2r^3 +7r²-13r -18

P(x)-P(r)= 2(x^3-r^3) +7(x²-r²)-13(x-r)

le plus chiant est le premier terme que l'on peut ecrire:
(x^3-r^3)=(x-r)(x²+r²+rx)
les autres , c'est plus simple
(x²-r²)=(x-r)(x+r)
le dernier 13(x-r)
du coup ça devient simple en additionnant les termes

P(x)-P(r)=2(x-r)(x²+r²+rx)+ 7(x-r)(x+r)-13(x-r).

comme il y a du (x-r) partout tu peux mettre en facteur facilement

[invitef8537cb8]

Car en faite x=r ???

Comment tu passe de P(x)-P(r) (x) => P(x) - P(x) = 0

Ca j'ai pas compris si tu pourrais developper stp !

[invitef8537cb8]

OHHHHHHHHHHHHHHHHHH MERCI ansset
Je te vénère !!!!!

[invitef8537cb8]

J'ai essayé de faire le calcul final :

(x-r)((x^2+xr+r^2)+(7x+r)+13 "-18+18"

C'est ça ??

[ansset]

J'ai essayé de faire le calcul final :

(x-r)((x^2+xr+r^2)+(7x+r)+13 "-18+18"

C'est ça ??

ben non ! je ne comprend pas pourquoi tu arrives à ça, tu a oublié les facteurs 2 et 7 ( en partie ) au passage
fais plus simple.
moi je met simplement (x-r) en facteur soit
P(x)-P(r)=(x-r)*(2x²+2r² +2rx +7x+7r -13)

après comme ceci est valable quelquesoit r , on te demande de trouver un truc avec r=2 , il suffit de remplacer , voire de simplifier après ) !

[invitef8537cb8]

r=2 donc x=2
=>x=r !!!

[ansset]

il faut dejà que tu calcules P(2), ensuite, comme il s'agit d'une équation du 3ème degré tu ne peux pas conclure aussi vite

[ansset]

comme je doit partir, j'abrege
P(2)=2*8+7*4-26-18 = 16+28-26-18 =0
donc P(x)-P(2)=P(x)

on peut donc rechercher les solutions de p(x)=0 comme les solutions de p(x)-p(2)=0
je reprend
p(x)-p(2)=p(x) = (x-2)(2x²+11x+9)
( si je ne suis alller trop vite )
donc
p(x) =0 si
1) x=2 ou si
2) 2x² +11x+9 =0 equation du second degré dont les solutions sont
-1 et 9/2 ....

donc 3 solutions, mais j'ai fait les calculs dev tête alors verifies quand même

[ansset]

pardon , faute de frappe par 9/2 mais -9/2

les solutions sont donc -9/2, -1, et 2

[invitef8537cb8]

Non, mais je veux dire que si on doit trouver un truc avec r=2 on doit faire le même calcul avec x=2 non ?

[ansset]

Non, mais je veux dire que si on doit trouver un truc avec r=2 on doit faire le même calcul avec x=2 non ?

non, je ne comprend pas ce que tu veux dire.
la fonction est une fonction f(x) avec un parametre r.
l'exercice l'invite à trouver les solutions de x pour r=2.
elles seraient differentes si r était different de 2 , sachant que la forme de l'équation donnerait toujours r comme solution, mais PAS comme unique solution, car il y en a souvent plusieurs dans une équation du 3 ème degré.

pour le dire autrement il est evident que x=2 est solution de l'équation ( à condition d'avoir montrer que f(2)=0, mais cela ne suffit pas

[invitef8537cb8]

En gros on remplace les x par des 2 et c'est tout !! ????

[ansset]

En gros on remplace les x par des 2 et c'est tout !! ????

comment ça
tu as une fonction f(x) qui a un parametre r.
je l'appelle fr(x).
d'abord tu a montré que
fr(x)-fr(r)=(x-r)*gr(x) ( g etant aussi une fonction de x mais du second degré qui depend aussi de r ).
puis on voit que pour r=2 f2(2)=0 donc
f2(x)=f2(x)-f2(2)=(x-2)*g2(x)
donc f2(x)=(x-2)*g2(x)
x reste une variable !!!!

ensuite f2(x) s'annulle si
soit
(x-2)=0 donc x=2
soit
g2(x) =0 qui est une equation du second degré dont on trouve les racines.

[ansset]

oublie cette explicartion , je serais plus clair demain

[invitef8537cb8]

Pour le 2.b) j'ai résolu comme ceci !

x-2 = 0
x=2

P(2)=2*2^3 + 7*2^2 -13*2 - 18
P(2)=2*8 +7*4-13*2-18
P(2)=16 + 28 - 26 - 18
P(2)= 0

Je ne vois pas pourquoi tu cherches d'autres solutions car l'énoncé du b) : En déduire la factorisation de P(x) par (x-2)

[ansset]

tout simplement parcequ'il faut aussi repondre à la dernière question qui est :
resoudre f(x)=0
ce n'est pas parceque f(2)=0 que tu a fini l'exercice.

si tu reprend le fil de la demonstration tu obtient au final
f(x)=(x-2)*(2x²+11x+9)

donc f(x)=0 => x=2 ou bien 2x²+11x+9 =0
la deuxième equation est du second degré et admet pour reponse:
x=-1 ou x=-9/2

la reponse à la dernière question admet donc bien 3 solutions

ce qui n'est pas surprenant pour une equation du 3 ème degré.
ps : tu peux le verifier en traçant la courbe.

j'espère enfin avoir été clair.

[invitef8537cb8]

ok je crois avoir compris :
a. (x-r) * (............................. ...........)
b. (x-2) * (............................. ..........)
c. x-2 = 0 ET 2 réponses avec delta !

Est-ce ça ?

[ansset]

c'est exactement ça

[invitef8537cb8]

Merci d'avoir eu autant de patience avec moi si j'ai encore un problème tu pourras m'aider ?? ^^