term S continuiter et derivabiliter

[invite31734b19]

Bonjours, je suis nouveau sur ce forum et je viens ici pour chercher de l'aide . Alors voila c'est les vacances donc dm de math oblige . J'ai du mal a comprendre comment on fait pour voir si une fonction trigonometrique est continue et voir si elle est derivable en 1 points. Je vous montre l'exercie sur lequel je galere depuis quelques jours maintenant ^^.

Soit la fonction f definie sur R par f(x)= (1-cos(x))/x si x different de 0 et f(0) = 0

1) f est elle continue sur R ?
2) f est t-elle dérivable en 0 ? ( utiliser : 1- cos(x) = 2sin²(x/2)
3) f est t'elle derivable sur R ?

Merci pour votre aide parce que la je galere vraiment
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[inviteaf48d29f]

Bonjour,
pour votre fonction le seul point qui pose problème c'est zéro. Partout ailleurs qu'en 0 le dénominateur ne s'annule pas, f n'est que compositions et produits de fonctions continues et dérivables. Je vous laisse écrire proprement la justification.

A ce niveau là vous pouvez déjà remarquez que les questions 2 et 3 sont équivalentes, vous savez que votre fonction est dérivable partout sauf en 0 donc si elle est dérivable en 0 elle dérivable partout.

Vous pouvez aussi vous dire que puisqu'une fonction qui n'est pas continue n'a aucune chance d'être dérivable, si en question 2 on vous demande la dérivabilité en 0, c'est probablement que votre fonction est continue en 0. On ne vous le demanderait pas sinon.

Voila, je voulais juste dire ça, parce que je pense que c'est important de lire tout le sujet avant de commencer, on apprend plein de trucs et on sait où on va.

Donc pour la question 1), il vous faut montrer que f est continue en 0. Définition de la continuité, vous devez montrer que f admet une limite en 0 et que cette limite est f(0). A vous de jouer.

Pareil pour la question 2), quelle est la définition de la dérivabilité en un point ?

[invite31734b19]

Merci pour votre réponse rapide . Donc pour la question 2 je remplace cos(x) par 2sin²(x/2) et je regarde la limite en 0, mais si c'est sa, alors c'est pareil que la question 1 je regarde la limite en 0 ?

[inviteaf48d29f]

Vous essayez de justifiez que la fonction est dérivable en prouvant que la dérivée est continue ? Je crois que c'est suffisant (si c'est le cas, c'est un théorème de math sup), mais ce n'est pas nécessaire.

D'ailleurs dans votre cas je ne suis pas sûr que votre dérivée est continue (je ne sais même pas si votre fonction est dérivable, je n'ai pas fait le calcul).
Je ne vois pas pourquoi vous voulez remplacer cos(x) par 2sin²(x/2), surtout qu'ils ne sont pas égaux ni ce que vous voulez essayer de calculer à partir de là. J'ai bien peur que vous ne le sachiez pas non plus.

Reprenons simplement. On vous demande si f est dérivable en 0, avant de partir dans des calculs dites moi déjà ce que signifie pour une fonction d'être dérivable en 0. Ça, c'est du cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31734b19]

Sa signifie que c'st dérivable sur R ? J'ai regarder pour etudier la limite en 0 et je tombe sur une forme indeterminer ^^ . Et pour remplacer par 2sin²(x/2), c'est parce que c'est demander dans l'exercice

[inviteaf48d29f]

Sa signifie que c'st dérivable sur R ?

Absolument pas. Je vous demande la définition de la dérivabilité en un point. Si vous ne savez pas ce que veut dire que f est dérivable en 0, comment pouvez vous espérer réussir à le démontrer ?

Et pour remplacer par 2sin²(x/2), c'est parce que c'est demander dans l'exercice

Non, on ne vous "demande" pas de le faire, on vous indique que vous pouvez le faire pour vous aider. Il ne faut pas le faire sans rime ni raison.

J'ai regarder pour etudier la limite en 0

La limite de quoi ? Vous voulez étudier la limite de quoi en 0 et surtout qu'est ce que vous espérez que ça va démontrer ?

P.S : S'il vous plait, essayez de faire un effort pour écrire dans un français correct. Votre orthographe et votre syntaxe sont actuellement à la limite de ce qui est admissible sachant que c'est un service que vous demandez.

[invite31734b19]

Une fonction est dérivable si elle admet une dérivée en ce point.

Donc pour la question 1), il vous faut montrer que f est continue en 0. Définition de la continuité, vous devez montrer que f admet une limite en 0 et que cette limite est f(0)

Donc d'après ce que vous m'avais dit, j'ai étudié la limite de (1-cos(x))/x en 0 pour voir si elle était égale a f(0). Mais lorsque je cherche la limite je trouve une forme indéterminer.

[invite31734b19]

Personne ?

[inviteaf48d29f]

Oups, désolé, je n'avais pas remarqué votre réponse hier.

Une fonction est dérivable si elle admet une dérivée en ce point.

Vous venez de définir la notion de dérivabilité à partir de la notion de dérivabilité. Votre définition se mord la queue, vous ne pourrez jamais rien démontrer à partir de ça.
En général on évite les sophismes en maths .

Il faut que vous revoyiez votre cours sur la dérivation; Allez je vous aide un peu, on utilise la notion de "taux d'accroissement" pour définir ce qu'est "le nombre dérivée" à une fonction en un point.
Si une fonction admet un nombre dérivée en un point on dit qu'elle est dérivable en ce point.

Donc d'après ce que vous m'avais dit, j'ai étudié la limite de (1-cos(x))/x en 0 pour voir si elle était égale a f(0). Mais lorsque je cherche la limite je trouve une forme indéterminée.

Oui, et alors ? Dire qu'une limite est une forme indéterminée n'est en aucun cas une conclusion. Beaucoup trop d'étudiants confondent "indéterminée" et "indéterminable".
Une grande partie du cours de terminale S tourne justement autour de méthodes qui permettent de calculer les limites de ces formes indéterminée.

Dans votre rédaction, vous ne vous arrêtez pas quand vous dites "c'est une forme indéterminée", mais vous dites "c'est une forme indéterminée donc j'emploie telle et telle méthode pour la calculer".
J'admets que cette forme indéterminée en particulier n'est pas évidente (peut-être que vous avez directement dans votre cours des moyen de maitriser ce 1-cos(x)).
De plus je ne peux pas énormément vous aider car j'ai un peu oublié ce qu'on a le droit de faire ou non en terminale. La maitrise des formes indéterminées est un sujet qui occupe encore après le bac et j'ai vu pas mal de notions supplémentaires pour s'occuper de ça.

[invite31734b19]

J'ai essayer de lever l'indétermination. Pour ça, j'ai factoriser par x mais je tombe encore une fois sur une forme indeterminer , j'ai l'impression de tourner en rond ^^

[pallas]

il faut savoir que lim(sinx/x) en zero est 1 de la l'interet pour appliquer la formule de 1 -cosx =2sin²x/2 ainsi la limite s'écris (sinx/2)(x/2)fois sinx/2 soit un fois zero donc zero donc f continue sur R

[pallas]

pour la derivabilité en zero il suffit d'etudier la limite de ( f(x)-f(0))(x-0) soit de 2sin²(x/2) /x² ce qui est simple en sachant que limite de (sin(x))/x) en zero est un a toi de jouer !!!

[invite31734b19]

ainsi la limite s'écris (sinx/2)(x/2)fois sinx/2

Je suis surement pas trés doué ^^ mais comment tu arrive a ce résultat, je n'arrive pas a changer mon sin(x/2) en sin(X).

[invite31734b19]

Bon alors voila, avec toutes les réponses qu'on m'a donnée je me suis tout embrouillé ^^. Et aprés moulte essai je n'ai toujours pas repondu a une seul question . Please help me