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somme des cubes de 3 entiers consécutif



  1. #1
    Gagaetan

    somme des cubes de 3 entiers consécutif


    ------

    Bonjour

    Voila dans un exercice je dois demontrer que la somme des cubes de 3 entiers consécutifs soit divisile par 9.

    La somme avec les trois entiers consécutifs: a-1 , a, a+1 donne

    3a(a²+2)

    A partir de la je ne sais pas comment faire pour demontrer que ceci est divisible par 9...

    -----

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  3. #2
    vinaz

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Bonjour

    si tu est en terminale tu as dut voir la recurence, tu n'as plus que a l'utilisé

  4. #3
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Je ne l'ai pas fait mais bon je veux bien essayer:

    La somme est divisible par 9 pour a =1
    3(1+2)=9
    La somme est divisible par 9 pour a =a+1=2
    3*2(4+2)=36=9*4

    Donc la somme est tout le temps divisible par 9.


    Alors la soit je me suis trompé ( surement...) soit je trouve qu'il manque quelque chose

  5. #4
    S321

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    C'est inutile d'utiliser une récurrence pour si peu.

    Vous pouvez faire une table de congruence modulo 3. Comme vous voulez montrer que 3a(a²+2) est divisible par 9 il vous suffit de montrer a(a²+2) est divisible par 3. Il y a 3 cas possibles :
    - Soit a est divisible par 3 et c'est gagné.
    - Soit a=1[3] (ie le reste de la division euclidienne de a par 3 est 1) et dans ce cas là que dire de a²+2 ?
    - Soit a=2[3], même question.

    Edit : Mais c'est quoi cette horreur de récurrence. Vous nous dites là que c'est vrai pour 1 et pour 2 et que donc c'est vrai pour tous les entiers. Il va falloir aller réviser sérieusement le principe de récurrence.

  6. #5
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Ok merci bien, sinon pour la recurrence j'avais juste ou pas ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    desolé mais j'avais pas vu votre reponse en dessous. Sinon ba la recurrence je n'ai jamais fait donc...

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  10. #7
    S321

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Non certainement pas, votre récurrence est une abomination. Vous mériteriez d'être pendu par les pieds pour écrire des horreurs pareils.

  11. #8
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Non certainement pas, votre récurrence est une abomination. Vous mériteriez d'être pendu par les pieds pour écrire des horreurs pareils.
    Hahaha

    j'ai fais sa sans aucune connaissance de la méthode

  12. #9
    S321

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Ça n'excuse rien. Vous nous dites que la propriété étant vraie pour 1 et pour 2 elle est vraie pour tous les entiers. Faut être culotté pour écrire ça en pensant que ça pourrait être une démonstration.
    Il y a vraiment des purification par le feu qui se perde.

  13. #10
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Sinon (a-1)^3+a^3+(a+1)^3=3a(a^2+2)
    Tu n'as surement pas vu le petit théorème de Fermat donc en faisant sans, on peut remarquer que :
    2=-1[3]
    Donc (a-1)^3+a^3+(a+1)^3=3a(a-1)(a+1)[9]
    La réponse est immédiate
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  14. #11
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Ça n'excuse rien. Vous nous dites que la propriété étant vraie pour 1 et pour 2 elle est vraie pour tous les entiers. Faut être culotté pour écrire ça en pensant que ça pourrait être une démonstration.
    Il y a vraiment des purification par le feu qui se perde.
    Mon dieu, la grammaire et la conjugaison
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  15. #12
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par Gagaetan Voir le message
    Je ne l'ai pas fait mais bon je veux bien essayer:

    La somme est divisible par 9 pour a =1
    3(1+2)=9
    La somme est divisible par 9 pour a =a+1=2
    3*2(4+2)=36=9*4

    Donc la somme est tout le temps divisible par 9.


    Alors la soit je me suis trompé ( surement...) soit je trouve qu'il manque quelque chose
    Vous ne savez visiblement pas ce qu'est le principe de récurrence
    Si vous êtes intéressé, cela est très bien expliqué ici :
    http://www.math.ens.fr/culturemath/m...ue/entiers.pdf
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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  17. #13
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Ça n'excuse rien. Vous nous dites que la propriété étant vraie pour 1 et pour 2 elle est vraie pour tous les entiers. Faut être culotté pour écrire ça en pensant que ça pourrait être une démonstration.
    Il y a vraiment des purification par le feu qui se perde.
    Tu peut aussi te calmer...je faisais sa limite dans un trait humoristique sachant que j'allais étudier la deuxieme proposition de vinaz pour le probleme


    hhh86 merci pour le lien

  18. #14
    S321

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Gagaetan, vous pensez que je suis sérieux en parlant de purification par le feu ? Bien sûr que non, vous couper les mains sera amplement suffisant pour vous faire expier vos crimes.

    Mon dieu, la grammaire et la conjugaison
    Je suis d'accord, c'est laid, ça m'apprendra à taper mes réponses dans l'urgence avant de partir faire autre chose.

  19. #15
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    sinon hhh86, peut tu me dire si j'ai bon avec la resolution avec le théoreme de fermat:

    3a(a²+2), a²=a modulo 2
    a=1modulo 2

    a=1, donc 3a(a²+2)= 3a(3) =9a, donc cela est divisible par 9

    Est-ce bon

  20. #16
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par S321 Voir le message
    Gagaetan, vous pensez que je suis sérieux en parlant de purification par le feu ? Bien sûr que non, vous couper les mains sera amplement suffisant pour vous faire expier vos crimes.


    .
    j'avais compris, et sa m'apprendra a sortir des truc sans réfléchir

  21. #17
    Plume d'Oeuf

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par Gagaetan Voir le message
    Tu peut aussi te calmer...je faisais sa limite dans un trait humoristique sachant que j'allais étudier la deuxieme proposition de vinaz pour le probleme


    hhh86 merci pour le lien
    Tu peux limite te calmer aussi. Je pense que S321 a un niveau de mathématiques qui dépasse largement le tien (et le mien aussi par la même occasion) et qu'il est ici seulement par désir d'aider. Il est clair que son message précédent pouvait éventuellement porter à confusion, mais ce n'est pas une raison pour attaquer directement en retour, plutôt que de demander des explications; ce d'autant plus qu'il n'a jamais rechigné à passer du temps à expliquer des notions simples aux personnes qui en avaient besoin.

    De même, il fait l'effort de te vouvoyer, il (me) paraît naturel de répondre de la même manière, même si j'ai aussi tendance à tutoyer tout le monde ici.

    Sur ce, désolé de m'être mêlé de vos oignons.

    Bon courage pour la suite.

  22. #18
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par Plume d'Oeuf Voir le message
    Bonsoir,



    Tu peux limite te calmer aussi. Je pense que S321 a un niveau de mathématiques qui dépasse largement le tien (et le mien aussi par la même occasion) et qu'il est ici seulement par désir d'aider. Il est clair que son message précédent pouvait éventuellement porter à confusion, mais ce n'est pas une raison pour attaquer directement en retour, plutôt que de demander des explications; ce d'autant plus qu'il n'a jamais rechigné à passer du temps à expliquer des notions simples aux personnes qui en avaient besoin.

    De même, il fait l'effort de te vouvoyer, il (me) paraît naturel de répondre de la même manière, même si j'ai aussi tendance à tutoyer tout le monde ici.

    Sur ce, désolé de m'être mêlé de vos oignons.

    Bon courage pour la suite.
    Oui je sais que c'était de l'humour!! On va pas en faire une montagne.
    Au passage le niveau en mathématique d'une personne n'excuse en rien la facon dont elle vous parle ( si elle vous a mal parler)

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  24. #19
    S321

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Ça, je suis bien d'accord. Mais c'est mon droit d'être un ours mal léché. Non seulement ça, mais en plus je suis friand du second degré (je ne parle pas d'équations), de l'ironie et de l'humour noir.

    Plume d'oeuf faisait juste remarquer ma gentillesse et ma patience de prendre du temps pour expliquer des notions élémentaires à de charmants bambins (mon prof de maths parle du temps où il étudiait les espaces de Sobolev en disant "quand j'étais petit").

  25. #20
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    C'est vrai j'ai oublié de te remercier pour ta patience et ta gentillesse, ce qui est chose faite...

  26. #21
    Plume d'Oeuf

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Je sais bien que son niveau de mathématiques n'excuse pas sa façon de parler. Je faisais juste remarquer que S321 répondait volontairement sans que cela ne lui apporte autre chose que de la satisfaction personnelle. En conséquence une demande d'explications avant de s'offenser auraient été plus appropriée (à mon avis), d'autant plus que ce n'est pas vraiment son style de chercher à rabaisser les personnes ayant besoin d'aide.

    Maintenant peut être ai-je tort.

    Bonne continuation en tout cas.

  27. #22
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par Gagaetan Voir le message
    sinon hhh86, peut tu me dire si j'ai bon

    3a(a²+2), a²=a modulo 2
    a=1modulo 2

    a=1, donc 3a(a²+2)= 3a(3) =9a, donc cela est divisible par 9

    Est-ce bon
    NNNNNNNNNNNOOOOOOOOOOOOOOOOOOO NNNNNNNNNNNNNNN et pourquoi pas modulo 1 pendant que t' y es.

    Avec le petit théorème de Fermat, il y a 2 cas à traiter :

    Si 3|a, alors il est évident que 3a(a²+2)=0[9]
    Si a n'est pas un multiple de 3, alors d'après le petit théorème de Fermat, a²=1[3], ie 3a(a²+2)=0[9]
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  28. #23
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    NNNNNNNNNNNOOOOOOOOOOOOOOOOOOO NNNNNNNNNNNNNNN et pourquoi pas modulo 1 pendant que t' y es.

    ]
    De toute facon je ne connaissais pas ce théoreme, je l'ai juste pris hier sur internet

  29. #24
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    J'ai sans doute du mal comprendre son explication sur internet

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  31. #25
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    La façon dont tu l'as énoncé est juste mais c'est au niveau de la logique du raisonnement qu'il y a un problème. Si tu raisonnes modulo 2, comment passes-tu modulo 3
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  32. #26
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    A ba oui ^^'
    Mais comment arrive tu a énoncé ceci: a²=1[3] ?

  33. #27
    Médiat

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Sans connaître le petit théorème de Fermat, il est très rapide de constater que
    a = 1 [3] => a² = 1 [3]
    a = 2 [3] => a² = 1 [3].
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    hhh86

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    C'est une autre forme du petit théorème de Fermat :
    (p premier, a non multiple de p) ==> (ap-1=1[p])
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  35. #29
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Bon finalement j'ai fait comme ceci:
    Prouvons que a(a²+2) est divisible par 3
    Soit a est divisible par 3

    Soit a=1[3] dans ce cas a²+2 est divisibla par 3

    Soit a=2[3] dans ce cas a²+2 est divisible par3

    Ensuite a(a²+2)=3k donc 3a(a²+2)=9k

  36. #30
    Gagaetan

    Re : somme des cubes de 3 entiers consécutif

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Sans connaître le petit théorème de Fermat, il est très rapide de constater que
    a = 1 [3] => a² = 1 [3]
    a = 2 [3] => a² = 1 [3].
    Je ne comprend pas, sa ce n'est pas quelque chose qu'il faut remarquer, mais quelque chose qu'il faut amener pour voir toutes les solutions possibles non?

    Et je ne comprend pas bien cela:
    a=2[3]==> a²=1[3]

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