Aide exo polynome degré 3

[invite80f5bc5b]

J'ai besoin d'aide sur un exo....
Le but est de trouver un polynome de degré 3 dont on peut dire:
P(x-1)-P(x)=x^2
Est-ce que quelqu'un aurait une idée???
Je galère depuis 3h, et toujours pas de réponse....
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[pi-r2]

commence par écrire la forme générale d'un polynôme de degré 3.

[invite80f5bc5b]

Hem...J'ai essayé, mais en développant, ça me donne unn polynome de degré 2:
(3a-1)x^2+(3a+2b)x+(a+b+c)=0
Et je n'arrive pas a trouver un degré 3....

[epiKx]

J'ai trouvé: -1/3x³-1/2x²-1/2x mais il y avait une telle quantité de calculs et de développement que j'ai pu commettre une erreur... A vérifier, donc....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80f5bc5b]

epiKx, je veux bien savoir comment tu as fait, parce que moi je trouve ça:
a(X+1)^3+b(X+1)²+c(X+1)+d-(aX3+bX²+cX+d)=x² (Soit 0x^3+x²+0*x+0)
a(x^2+2x+1)(x+1)+b(x^2+2x+1)+c x+c+d-ax^3-bx^2-cx-d-x^2=0
a(x^3+2x^2+x+x^2+2x+1)+bx^2+2b x+b+cx+c+d-ax^3-bx^2-cx-d-x^2=0
ax^3+3ax^2+3ax+a+bx^2+2bx+b+cx +c+d-ax^3-bx^2-cx-d-x^2=0
, et j'ai donc obtenu (3a-1)x^2+(3a+2b)x+(a+b+c)=O....
Le souci, c'est que je dois obligatoirement obtenir un plynome de degré 3, et non de degré 2, donc si tu peux m'expliquer le raisonnement, j'en serai plus que ravie, vu le temps depuis lequel je galère dessus....

[pi-r2]

vous faites une petite confusion entre le polynome que vous devez trouver et qui est de degré trois et la différence p(x-1)-p(x)
qui est de degré 2, forcément (question subsidiaire: pourquoi ?)
faites attention à l'énoncé c'est p(x-1)-p(x) ou p(x+1)-p(x) ?
Une fois votre calcul effectué, comment faire pour que le polynôme de degré 2 que vous trouvez (avec plein de a, b, c...) soit identique à x² (pour tout x) ?

[invite80f5bc5b]

Hem...pi-r2, je n'ai pas compris ce que tu veux dire?

[epiKx]

Je suis d'accord avec pi-r2. Est-ce P(x+1)-P(x)= x² ou P(x-1)-P(x)=x² ? C'est pas du tout la même chose! J'avais jusque là fait pour le 2eme cas et je m'étais effectivement trompé en annonçant le polynome -1/3x³-1/2x²-1/2x car la différence P(x-1)-P(x) fait x²+1/3 et non x². S'il s'agit en revanche du 1er cas, le polynome de degré 3 est 1/3x³-1/2x²+1/6x (et là j'en suis sur).
détail de la méthode: Nordimel, tu as fait les bons calculs mais tu ne t'es pas posé la question de qu'est-ce que c'est que ces calculs!
Je reprends donc ton raisonnement là où il s'est arrêté:
(3a-1)x²+(3a+2b)x+(a+b+c)=0.
Donc 3a-1=0 a=1/3
3a+2b=0 3*1/3+2b=0
a+b+c=0 1/3+b+c=0

1+2b=0 b=-1/2
1/3+b+c=o 1/3-1/2+c=0

-1/6+c=0
c=1/6
(a,b,c)=(1/3,-1/2,1/6)
explications: On cherchais un polynôme de degré 3 mais un polynôme se caractérise par ses coefficients donc on cherchais les coefficients du polynôme de degré 3 et non le polynôme lui-même!!! Ensuite il ne reste plus qu'à appliquer la propriété: deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont deux à deux égaux autrement dit: p₀=p₀',
p₁=p₁',...,p_n=p_n' avec p coefficient du polynome. On obtient ainsi un système de trois équations à trois inconnues que l'on résout facilement (en exprimant chaque variable en fonction des autres).
En espérant t'avoir aidé,
EpiKx