Limite d'une fonction

[invite75335567]

Bonjour tout le monde
J'ai un exercice avec 4 limites, il faut dire si ces limites sont vrai ou fausse, j'ai déja trouvé les 2 premières mais je n'arrive pas les deux autres, les voici:

Lim x→ ∏ (sin5x)/ (x-∏ ) = -5
Il faut que je puisse prouver cette égalité

j'ai fait: lim x→∏ sin 5x= 0

lim →∏ x-∏ =0

C'est une forme indéterminée du type ''0/0''
Selon mon cour je doit pouvoir écrire : lim x→∏ [ (x-∏ ) ( …....)]/[ (x-∏ ) (…...)
Et c'est là que j'ai un problème je n'arrive pas à mettre x-∏ en facteur
Mon professeur m'a di qu'il fallait que je change l'écriture mais je ne trouve pas
Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?

Merci
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[inviteb31e526f]

as-tu essayé avec le taux d'accroissement?

[invite75335567]

non et je ne l'ai pas étudié

[inviteb31e526f]

ce que je te propose c'est de le faire je viens de le faire ça marche ^^ je peux te donner la réponse à moins que tu préfères chercher

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75335567]

Je sais que ce n'est pas bien mais pouvez vous me donner la réponse je craque ça va faire 2h que je sui sur cette limite...
Merci beaucoup

[inviteb31e526f]

f(x) = (sin5x)/ (x-π)

on sait que sin(3π) = 0
f(x) = (sin5x)- sin(3π) / (x-π)
f est dérivable en x0 si et seulement si:
lim x x0 de (f(x) – f(x0)) / (x - x0) est finie

si tel est le cas, la limite obtenue est le nombre dérivé de f en x0 (f ‘ (x0) )
soit f la fonction. Pour tout x appartenant à l’ensemble des réels, f(x) = sin 5x
f est dérivable en π donc :
lim x π ((sin5x)- sin(3π) / (x-π)) = sin ‘ (5π)
= 5 cos(5π)
= 5 x (-1)
= -5
voilà si tu veux que je t'explique demande moi je répondrai

[inviteb31e526f]

les carrés sont les flèches dans les limites qui ne sont pas passées...

[invite75335567]

''soit f la fonction. Pour tout x appartenant à l’ensemble des réels, f(x) = sin 5x''

Pourquoi f(x) devient sin5x ?

[inviteb31e526f]

je viens de chercher le nombre dérivée du départ soit π par le biais de la fonction que j'ai, je viens de te citer la formule
lim x x0 de (f(x) – f(x0)) / (x - x0) est finie
oui effectivemment dans le programme de première S on la voit mais avec des "h"
et tu vois que f(x) dans ((sin5x)- sin(3π) / (x-π)) est bien sin(5x)

[invite75335567]

J'ai compris j'aurais une autre question: Pourquoil im x π ((sin5x)- sin(3π) / (x-π)) = sin ‘ (5π)
j'aurais dis sin' ( 5x)

[invitea4b4dcde]

BJR Mariin3!

on posons un changement de variable:
y=x-pi
on aura y --->0
et donc la limite est équivalente à:
lim y-->0 de (sin(5(y+pi))/y)
or sin(5(y+pi))=sin(5y+5pi)=-sin(5y)
ainsi lim x-->0 sin(x)/x =1
donc
lim y-->0 de (sin(5(y+pi))/y) = lim y-->0 -sin(5y)/y
= lim y-->0 -5sin(5y)/5y =-5

[inviteb31e526f]

alors tout simplement parce qu'à la fin tu dois trouver un nombre fini et le x est un peu embêtant car il peut prendre plen de forme ^^ mais tu peux aussi dire
sin' ( 5x) car en transfromant:
5 cos (5x)
puis comme le x = π
et bien tu te retrouves de nouveau sur le -5

[inviteb31e526f]

la méthode de achraf_djy est aussi excellente car moins longue que la mienne

[invite75335567]

Merci beaucoup je sais que je vous prends votre temps, mais j'aurais une dernière limite

Lim x→2 (2√(2x+5)-6)/ (x-2) = 2/3

Normalement celle là est fausse faut-il encore le prouver, c'est aussi une forme indéterminé et mon probleme est toujours le même... :$

[inviteb31e526f]

tu as fait la forme conjuguée?

[invite75335567]

le prof en a vaguement parlé mais on a écrit aucun cour sur ce sujet

[inviteb31e526f]

alors je vais de ce pas de faire la démonstration sur un fichier texte et je te mets ça tout de suite

[invitea4b4dcde]

Merci lefebvre corentin, ta méthode et aussi belle!
pour la 2 ème limite, oui tu va utilisé le conjugué, et ça marche tt seul!

[invitea4b4dcde]

on a (2v(2x+5)-6)/(x-2)= (4(2x+5)-36)/((x-2)(2v(2x+5)+6))
=8(x-2)/((x-2)(2v(2x+5)+6))
=8/(2v(2x+5)+6))
à toi maintenant ...

[inviteb31e526f]

f(x) = (2√(2x+5) -6) / (x-2)

lim x  2 de chacun des termes donne une forme indéterminée

levons l’indétermination :

f(x) = [(2√(2x+5) -6) (2√(2x+5) +6)] / [(2√(2x+5) +6) (x-2)]
f(x) = (4 (2x+5)) / [(2√(2x+5) +6) (x-2)]
f(x) =( 8x – 16) / [(2√(2x+5) +6) (x-2)]
f(x) = 8 / (2√(2x+5) +6)

lim x 2 de 8 = 8

lim x  2 de 2x +5 = 9
lim X  9 de √X = 3
lim x  2 de 2√(2x+5) = 6
lim x  2 de 6 = 6
lim x  2 de 2√(2x+5) +6 = 12

donc lim x  2 de 8 / (2√(2x+5) +6) = 8 / 12 = 2/3

et merci à toi aussi achraf_djy

toujours les carrés sont les flèches XD

[invite75335567]

Merci beaucoup c'est super gentil

[inviteb31e526f]

il n' y apas de problème en espérant que tu as compris comment on fait

[invitea4b4dcde]

u r welcome!

[invite75335567]

f(x) =( 8x – 16) / [(2√(2x+5) +6) (x-2)]
f(x) = 8 / (2√(2x+5) +6)
je ne comprends pas comment on passe de la 1ère ligne à la seconde