probleme nombres complexes

[invitedf105d52]

Bonsoir, j'aurai besoin de votre aide pour un exercice sur les nombres complexes plus précisément sur ces 2 questions :

1) résoudre dans C l'équation z⁴-z³+4z²-4z=0

Je n'arrive pas à trouver la variable à poser pour avoir une équation de degré 2 qui sera plus facile à résoudre

et pour la 2) on considère le nombre complexe z=1+i racine de 3
calculer z¹⁸

donc j'écris z sous forme trigonométrique : 2e^iPi/3
je met le tout à la puissance 18 et après simplifications j'obtiens
2¹⁸ e^i5Pi/3
ce qui me donne comme résultat final : 2¹³(1+i racine de 3)⁵

J'aurai voulu savoir si ce n'était pas possible de trouver un résultat sans l'exposant 5

Je vous remercie d'avance !
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[Jeanpaul]

Dans ton équation, si tu remarques que z=0 et z=1 sont solutions évidentes, tu peux mettre z (z-1) en facteur et ça devient facile.
Pour le second, j'aurais cru que 18/3 = 6 et pas 5.

[invitedf105d52]

ah oui je n'y avais pas pensé !
par contre auriez vous une astuce pour trouver rapidement le polynôme car je n'y arrive jamais du premier coup j'essaie en changeant les valeurs ce qui me fait perdre du temps ...

pour le 2) oui je suis d'accord mais je trouvais gênant de simplifier e^i18Pi/3 en e^i6Pi car cela donne 1 et donc on ne retrouve pas z dans le résultat final

[invitedf105d52]

Je viens de retrouver la méthode par identification pour obtenir les valeurs du polynôme est donc :

z⁴-z³+4z²-4z = z(z-1)*(z²+4)

Je vous remercie pour la piste cela va beaucoup m'aider pour la suite du calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

z⁴-z³+4z²-4z = z(z-1)*(z²+4)

Je pense que dans C, il est encore possible de factoriser l'expression ci-dessus

... car cela donne 1 et donc on ne retrouve pas z dans le résultat final

Et ??

Duke.

[invitedf105d52]

Ah donc pour la 2) ce n'est pas un problème ... autant pour moi je pensais que le z devait toujours apparaitre dans le résultat !

Par contre pour la 1) je ne comprend pas ce n'est pas correct si on fait les calculs à partir de cette équation ?

[Jeanpaul]

L'idée c'est qu'on peut trouver des solutions complexes à l'équation z²+4 = 0 donc on peut encore factoriser.

[invitedf105d52]

Bonjour

J'ai factorisé z²+4 en (z+2i)(z-2i)
mais il apparait toujours des complexes dans mes solutions comment faire ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Que signifie une factorisation par (z-a) ? Cela ne signifie-t-il pas que 'a' est racine de ton équation ?
Tes solutions dans sont donc S = {..., ..., ..., ...}.

Duke.

[invitedf105d52]

Ah oui merci j'avais oublié que la résolution se faisait dans C donc pas de souci avec les solutions avec i

S={0;1;-2i;2i}