Nombres complexes S

[inviteb4ba48bf]

bonjour j'ai un exercice de math à faire j'ai fait les trois premieres questions n note P' le plan privé de O et f l'application qui à tout point M de P' d'affixe z associe le point M' d'affixe : z'=1/z barre
1- determiner l'ensemble des points invariants par f.
2-a-montrer que OM*OM'=1
b-etablir une relation entre arg z et arg z'
en deduire que les points O,M et M' sont alignés avec M et M' du même côté de O
c-construire le point M' connaissant M lorsque OM=2 puis lorsque OM=1/3(unité graphique :1.5cm)
3-a-montrer que si M est un point du cercle C de centre O et de rayon r>0 alors M' appartient à un cercle C' que l'on determinera.
b-montrer que tout point de C' est l'image d'un point de C
c-en deduire l'image de C par f
verifier que cette image est aussi l'image de C par une homothétie de centre O dont on précisera le rapport.
4-a-Soit z un nombre complexe non nul
montrer que si /z-1/ = 1 alors : /z'-1/=/z/ avec z' = 1/z barre
en deduire que si M est un point autre que O du cercle T de centre A(1) et de rayon 1 alors son image M' par f appartient à une droite d que l'on determinera.
b- monter que tout point de d est l'mage par f d'un point de T-{O}
c- en deduire l'mage de T-{O} par f.
tracer T et d:
pouvez vous m'aider a la question 3
merci
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[invitebf26947a]

Je crois, que tu peux calculer la distance, centre du cercle au cercle, je t'en dirai plus.

[inviteb4ba48bf]

et apres?

[invitea06386ed]

Tu exprimes les coordonnées de M' en fonction des coordonnées de M grace à la relation z'= 1/z barre.
( tu multiplie par le conjugué de z barre, qui est z et tu divises par le conjugué )
Tu déduis x' la partie réel et y' la partie imaginaire.
tu élèves x' et y' au carré et tu les additionnes, et naturellement, ça dois te donner l'équation d'un cercle en fonction de r.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4ba48bf]

il faut que je calcule la distance du cercle au centre avant ?comment?

[NicoEnac]

Bonjour,

Plus simplement, on sait que M appartient au cercle de centre O et de rayon r>0. Z_M peut donc s'écrire : Z_M = r.e^i.theta. Ensuite, utilise la relation entre z' et z pour trouver le module de Z_M'.

[invite96898fe4]

z'=1/zbarre
z'z=1
zbarre=1/z'
mod(zbarre)=mod(z)=1/mod(z') ...et?

[NicoEnac]

z'=1/zbarre
z'z=1
zbarre=1/z'
mod(zbarre)=mod(z)=1/mod(z') ...et?

Si c'est à moi que cette remarque s'adresse, un indice supplémentaire : quel est le module de Z_M d'après ce que j'ai écrit dans mon précédent message ? Que peut-on en conclure sur le rayon r' en fonction de r ?

[inviteb4ba48bf]

si c bon ce qui a ecrit avant ? on en deduit que r=1/r'

[inviteb4ba48bf]

c bon ou pas ?

[inviteb4ba48bf]

donc M' apartient au cercle C'(1/r e itheta)?

[NicoEnac]

donc M' apartient au cercle C'(1/r e itheta)?

C' (1/r e itheta) ne représente pas un cercle. Un cercle peut être décrit grâce à son centre et son rayon. r'=1/r est correct et le centre est O. Donc si M appartient au cercle C de centre O et de rayon r, alors M' appartient au cercle C' de centre O et de rayon 1/r.

[inviteb4ba48bf]

merci pour la b comme les points sont invariants c'est normal non?

[inviteb4ba48bf]

comment demontrer alors svp?

[NicoEnac]

Je reprends :
3. Soit un point M d'affixe z = |z|.e^i.arg(z) appartenant à C, cercle de centre O et de rayon r. Or |z| = distance entre O et M, et comme C est de centre O et de rayon r, |z| = r
Donc z = r.e^i.arg(z)
Calculons son image . Donc donc la distance entre O et M' vaut 1/r donc M' est sur C', cercle de centre O et de rayon 1/r.

Avec ça tu réponds à toute la 3

[inviteb4ba48bf]

pour la a) ok j'ai l'ai déjà fait mais pour b) et c) je ne vois pas

[inviteb4ba48bf]

voila ce que j'ai fait pour la a):
on sait que M appartient au cercle de cercle de ceentre O et de rayon r>0 donc zM peut s'ecrire zM=re itheta
z'=1:zbarre
z'zbarre=1
zbarre=1:z'
/zbarre/=/z'/:
or /zbarre/=/z/ donc /z/=1:/z'/eqvt à/reitheta/=1:/r'eitheta/eqvt à r=1:r' eqvt à r'=1:r(r>0)
par consequent ,si m appartient au cercle C de centre 0 et de rayon r alors M' appartient au cercle C' de centre O et de rayon 1/r.

[inviteb4ba48bf]

b)psq M appartient au cercle de centre O et de rayon r et que M' appartient au cercle C' de centre O et de rayon 1/r donc tout point de C' est l'image d'un point de C.
c)l'image de C de rayon r par f est un cercle C' de rayon 1/r.Puisque O est le centre de C et C' et que l'on prend l'inverse du rayon de C pour trouver le rayon de C',C' est bien l'image de C par une homothétie de centre O et de rapport 1/r

[inviteb4ba48bf]

pour la 4 svp comment faire ?