Bonjour à tous,
Voilà l'exercice :
1. Montrer que pour x appartenant à ]0;1[ on a ln(1+x) < x < −ln(1−x)
2. k désignant un entier naturel non nul, on pose pour n appartenant à N* :
S(n)= 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + .... + 1/(n+kn)
c'est à dire S(n)= (kn somme i=0) de 1/(n+i)
a) Pour i compris entre 0 et kn donner, grâce à la question 1, un encardement de 1/(n+i)
b) Montrer que pour tout entier n>=2 on a :
ln(k+1+(1/n)) < S(n) < ln (k+1+(k+1)/n-1))
c) En deduire Lim S(n) quand n tend vers + l'infini
Ma démarche :
Alors pour la question 1 j'ai étudié le signe des fonctions ln(1+x)-x et celle de x + ln(1-x)
Mais à partir de la question 2 j'suis totalement perdue, je ne comprend pas la logique de l'exercice :
J'ai vu qu'on savait logiquement que (1/n) <= 1/(n+i) <= 1/(n+kn) mais ça ne sert pas à grand chose, et en utilisant la question 1 : on pose x = 1/(n+i) donc on obtient ln(1+1/(n+i)) < 1/(n+i) < -ln(1-1/(n+i) ... Mais je ne sais pas quoi faire de ça.
La question petit b) je ne vois pas du tout non plus
Enfin pour la petit c) on peut dire que s(n) est encadré par 2 fonctions dont les limites sont ln(k+1) quand n tend vers + l'infini donc d'apres le therome des gendarmes S(n) tend aussi vers ln(k+1), c'est juste ?
Merci beaucoup de votre aide, ça fait un moment que j'reflechis et ça me monte vraiment au cerveau !
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