Matrice de Léontief

[invite44ab5704]

Bonjour à tous. J'ai un exercice de Spé maths à faire. Je suis en ES. C'est sur la matrice de Léontief, j'y arrive vraiment pas.
Voilà l'énoncé : Chaque année, 20% de la population d’une ville X migre vers une ville Y et
5% de la population de la ville Y migre vers la ville X. On suppose que ces
migrations sont les seuls facteurs influant sur la population des ville.
1. On note x et y les populations respectives de X et Y une année donnée
et x′, y′ les populations respectives l’année suivante. Expliquer pourquoi
X′ = AX où
A = (0,8 0,05 ; X= (x et X' = (x'
0,2 0,95) y) y')
2. Si la population actuelle de X est 8500 habitants, celle de Y , 11500. Quelles
étaient les population l’année précédente ?
3. Expliquer pourquoi la population au bout de n années sera de AnX.
4. Calculer les populations au bout de trois années.
5. `A l’aide de la calculatrice donner avec des coefficients arrondis au millième
les matrices A10, A30, A50, A100.
6. Quel phénomène observe-t-on?
7. Quelles seront les populations au bout de 50 ans ?
8. Comment vont-elles évoluer ?
9. Si la population totale des deux villes est de x + y = 20000, quelles seront
les populations 50 ans après ? Cela dépend-il de la répartition initiale x et
y entre les deux villes ?
Ou sinon,voici le lien de l'exercice : http://www.yann-angeli.fr/archives/...2010-exos-2.pdf
Merci à vous
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[NicoEnac]

Bonjour,

Voilà l'énoncé : Chaque année, 20% de la population d’une ville X migre vers une ville Y et
5% de la population de la ville Y migre vers la ville X.

Que signifie ceci ?
Soient X la population de la ville X et Y celle de Y.
La population d'une ville correspond à la population de cette même ville l'année précédente à laquelle on retire la partie de la population qui a migré vers l'autre ville et à laquelle on ajoute la partie de la population de l'autre ville qui a migré.
Y_n+1 = Y_n + 20%.X_n - 5% Y_n
X_n+1 = X_n - 20%.X_n + 5% Y_n