ppcm(a,b) + ppcm(a,b)

[invite3c51923e]

Bonjour,
J'ai à résoudre l'équation suivante: (a,b) appartenant à N*²
pgcm(a,b) + ppcm(a,b) = b + 9
Je n'ai vraiment aucune idée de sur quoi partir,
Merci.

Je pense tout de même être capable de montrer que b<10 :
ppcm(a,b) >= b (par def)
Si ppcm (a,b) = b alors a=b donc a=b=9. (Déjà une solution)
Si ppcm (a,b) > b alors il existe k>1 t.q k*b = ppcm(a,b)
donc ppcm(a,b)>=2*b et comme ppcm(a,b)<b+9
b<10.

Après je pourrais p-e chercher pour chaque valeur de b inférieur à 10 une valeur de a t.q (a,b) solution et encore je ne suis pas sure d'être capable a chaque fois de prouver que j'ai bien déterminé l'ensemble des solutions pour un b donné.
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[Amanuensis]

1) Le titre doit être faux, en tout cas il contredit le message.

2) pgcm --> pgcd j'imagine (parce que le plus grand commun multiple est très grand


Que peut-on affirmer comme relation entre le pgcd et 9 ?

[Amanuensis]

Si ppcm (a,b) = b alors a=b donc a=b=9

Il y a une faute grave dans cette ligne.

[invite3c51923e]

Il y a une faute grave dans cette ligne.

Oui en effet, on a juste a juste ba et pgcd(a,b)=a. (Enfin je crois)

Pour la relation entre pgcd(a,b) et 9 ba pgcd(a,b)9, ou c'est autre chose?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Oui en effet, on a juste a juste ba et pgcd(a,b)=a.

C'est ça. Du coup quelles sont les solutions si ppcm = b ?

Pour la relation entre pgcd(a,b) et 9 ba pgcd(a,b)9, ou c'est autre chose?

Il y a mieux que ça.

[invite3c51923e]

C'est ça. Du coup quelles sont les solutions si ppcm = b ?

a=9 et b un multiple de 9.

Pour le pgcd, alors je trouve bien des trucs qui semble ne mener a rien:
En notant m le ppcm et d le pgcd on a:
d + m = b+9
d + b.a' = b + 9 (a=a'd, b=b'd, pgcd(a',b')=1)
d = b*(1-a') + 9 ... Si a' = 2 alors m = 18 - 2*d -_-'

Enfin non décidément en arithmétique je ne vois jamais trop ou aller.
Merci pour vos réponses, je pense que j'écouterais la correction en cours, j'ai déjà suffisamment réfléchi sur l'exercice, je vais éviter de vous faire "perdre" votre temps ^^

[Amanuensis]

a=9 et b un multiple de 9.

Correct.

Enfin non décidément en arithmétique je ne vois jamais trop ou aller. Merci pour vos réponses, je pense que j'écouterais la correction en cours, j'ai déjà suffisamment réfléchi sur l'exercice

Pourtant ce n'est pas loin...

En notant m le ppcm et d le pgcd on a:
d + m = b+9
d + b.a' = b + 9 (a=a'd, b=b'd, pgcd(a',b')=1)
d = b*(1-a') + 9 ... Si a' = 2 alors m = 18 - 2*d -_-'

Pourquoi n'avoir pas utilisé b' ??

[invite3c51923e]

Bon très bien continuons! C'est surtout que je pensais que ce que j'avais fait était d'une inutilité sans précèdent.
Le b' je pourrais le mettre en écrivant :
d = b'*d*(1-a') + 9
Donc d divise 9, on a déjà traité le cas où d=9.
Si d=3 alors b divise 6 et 3 divise b donc deux cas (b=3 ou b=6).
Si d=1 alors b divise 7 donc deux cas (b=7 et b =1).

Je m'arrêtes donc la en traitant séparément ces 4 cas? ou il y avait une méthode plus global?

[Amanuensis]

Je m'arrêtes donc la en traitant séparément ces 4 cas? ou il y avait une méthode plus global?

Je n'en ai pas trouvé, mais chaque cas va très vite, parce qu'on a aussi une info sur a'.

(Et 9-1 est différent de 7...)