Formules d'addition ou de duplication trigonométriques [1èreS]

[invite2dc26872]

Bonjour à toutes et a tous, j'aurais besoin d'aide sur un exercice concernant la trigonométrie, j'ai réussi les 1ères questions mais là, j'ai un peu de mal :
Simplifier l'expression A' = cos²x+cos²(x+ π/3)+cos²(x+[2 π/3])
L' exercice est corrigé à la fin du livre ,le résultat doit être A' = 3/2.
Et ils conseillent de penser aux formules de duplication.
Je commence en utilisant les formules d'addition (en espérant qu'elles s'appliquent aussi avec cos²a ) cos ( a+b ).
Ce qui donne A' = cos²x+cos²x*cos² π/3-sin²x*sin² π/3+cos²x*cos²2 π/3-sin²x*sin²2 π/3
Est-ce que pour l'instant cela parait-il juste, et comment faire ensuite pour simplifier...merci de votre aide
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[invitee791e02a]

Salut,

Ben déjà sin(Pi/3) et cos(Pi/3) tu dois connaitre leur valeur Ensuite pour 2Pi/3 tu regardes sur le cercle trigo ou tu peux l'exprimer en fonction de Pi/3 (plus fastidieux).

[invite2dc26872]

Oui, je connais leurs valeurs ca fait 1/2 et racine de( 3)/2.
Pour sin 2pi/3 on fait sin(pi-pi/3) ce qui donne sin pi/3 ce qui donne racine de (3)/2 mais ce n'est pas sin pi/3 ou cos pi/3 c'est sin²pi/3 et cos²pi/3, le résultat est le même ?

[invitee791e02a]

eh ben je ne vois pas ou est le problème sin²(pi-pi/3)=sin(pi-pi/3)*sin(pi-pi/3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2dc26872]

Oui c'est vrai, mais je ne pense pas qu'il faille simplifier comme ça mais en utilisant les formules de duplication du genre 2cos²x-1=cos2x.
Mais je ne sais pas comment m'y prendre, je vais quand même essayer ta méthode.

[invitee791e02a]

De toute façon sa changera rien au résultat

[invite2dc26872]

En tout cas je n'y arrive toujours pas....

[invite0a963149]

Oui c'est vrai, mais je ne pense pas qu'il faille simplifier comme ça mais en utilisant les formules de duplication du genre 2cos²x-1=cos2x.
Mais je ne sais pas comment m'y prendre, je vais quand même essayer ta méthode.

Salut
tu réponds a ta question toi même là, maintenant tu exprimes cos²x en fonction de cos2x ...

et pour le sinus, tu ne seras pas surpris de voir que cos²x+sin²x=1 (pythagore n'est plus loin)
Ciao

[invite2dc26872]

Oui, je m'embrouille un peu, je sais que cos²a+sin²a=1.
Donc ce que tu veut dire c'est que quand j'ai A' = cos²x+cos²x*cos² π/3-sin²x*sin² π/3+cos²x*cos²2 π/3-sin²x*sin²2 π/3
Je dois remplacer tout les cos²x par des cos2x ?

[invite2dc26872]

Je n'y arrive vraiment pas depuis 14h, je bloque sur cette question.
Quand j'ai A' = cos²x+cos²x*cos² π/3-sin²x*sin² π/3+cos²x*cos²2 π/3-sin²x*sin²2 π/3
Je simplifie d'abord les cos²pi/3 sin²pi/3 et tout ça?
Et est-ce que cos²pi/3 = cos pi/3*cos pi/3=1/2*1/2=1/4
sin²pi/3=sin pi/3* sin pi/3 = racine de (3)/2*racine de (3)/2= 3/4 ?

[invite0a963149]

Ben oui je pense, enfin c'est comme tu le sens.

Je commencerai d'abord par factoriser a fond pour voir si des choses n'apparaissent pas

[invite2dc26872]

Du coup je trouve A'= cos²x+cos²x*1/4-sin²x*3/4+cos²x*1/4-sin²x*3/4
Là je ne sais pas quoi faire et j'ai essayé de remplacer les sin²x par 1-cos²x, mais ensuite je bloque

[invite2dc26872]

Bon j'abandonne : a la fin je trouve 3cos²x-3/2, j'ai du faire quelques erreurs , même si je suis proche de trouver 3/2, si quelqu'un a une solution, je suis preneur quand même .
Et merci à vous pour votre aide ,

[pallas]

c'est simple
un : cos(a+b) =cos cosb- sinasinb
deux: cos(pi/3)=1/2 sin(pi/3)= rac(3)/2; cos(2pi/3)=-1/2; sin(2Pi/3)= rac(3)/2
trois : (a-b)²=a²-2ab+b²
quatre: (a+b)²=a²+2ab+b²
ensuite l'avt dernier calcul est cos²x+1/2cos²x+3/2 sin²x