bonjour , en faite j'ai un exo de suite numérique à resoudre . pour cela j'aimerai un aide pour demontrer ceci : soitpour 0<x<1 . demontrer que
et a parir de cela j'aimerai montrer que log(1+ 1/y) < 1/y < log(y/(y-1)). j'ai vrément besoin qu'on me debloque pour pouvoir continuer mon exercice de suite numérique..
Peut être en étudiant le signe de la différence: exp(x)-(x+1)=exp(x)-x-1
exp(0)-0-1=0 de + exp(x)-(x+1) croissante car dériivée positive donc exp(x)-(x+1)>0 (théoreme de comparaison)
en faite je ne comprend pas trop comment utiliser ces indice pour le demonter .
pouvez-vous m'expliquer un peut svp.
Montrer que 1+x<exp(x) pour 0<x<1 revient à montrer que 0< exp(x)-(1+x), autrement dit que exp(x)-x-1>0 pour 0<x<1.
On montre ensuite que exp(x)-x-1 est croissante sur [0;1], grâce à la dérivée.
Puis comme exp(0)-0-1=0 et que exp(x)-x-1 est croissante (et continue) sur [0;1], le minimum sur [0;1] va être atteint en exp(0)-0-1=0
Si tu comprends pas, fais le tableau de variations de exp(x)-x-1 sur [0;1] et place la valeur en f(0).
merci beaucoup ,maintenant je comprend
a mon avis ce n(est pas 1/(x-1) mais 1/(1-x) a confirmer svp
Bonjour.forcément... sinon ex serait négatif...Envoyé par pallas
Si 0<x<1 alors x-1<0 1/(x-1)<0 donc ex<0
Duke.
oui c'est vrai , moi aussi j'avais trouvé exp(x)<0 . donc du le rectifié.
Ces deux inégalités sont des inégalités de convexité.
Elles se démontrent le plus souvent avec une bonne vieille intégrale et les inégalités de la moyenne.
