Forme exponentielle [complexe]

[invitea86014ac]

Bonjour,

Il est admis que r(cos£+isin£)=re^(i£)
C'est la forme exponentielle d'un complexe non nul.
Cependant peut on démontrer cette égalité ou est-ce simplement une "observation" mathématiques ?

Merci a vous.
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[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Ouaip elle se démontre. Soit avec les développements de Taylor (pas au programme avant le bac). Les développement selon x des deux membres de l'égalité sont égaux donc les membres sont égaux.

Soit par le calcul différentiel. Vous posez la fonction f qui a x associe le quotient de e^ix et de l'autre membre de l'égalité, la dérivée est nulle.

[invitec317278e]

La véritable question est de savoir définir l'exponentielle d'un complexe.

on peut parfaitement la définir comme : cos£+isin£=re^(i£), et dans ce cas, la démonstration est évidente
Mais alors, comment définir cos et sin ... ?

Bref, tout est une histoire de choisir la définition dont on a envie. Traditionnellement, dans le supérieur, on définit e^z par sa série entière avant de définir cos et sin par les formules connues...mais cela n'a rien d'obligatoire.

[invite56b3defd]

Cette relation (appelée formule d'Euler) est bien entendu démontrable, comme tout en mathématiques (si on excepte les axiomes et définitions qui servent de piliers aux théories).

La démonstration la plus naturelle est celle qui passe par les séries de Taylor.
Si le sujet t'intéresse, tu peux jeter un coup d’œil sur le net : tu trouveras une multitude de sites qui expliquent tout en détails.
L'idée est simple : exprimer les fonction comme un polynôme de degré infini.
Sachant que le développement de l'exponentielle réelle x peut s'écrire



Il suffit de l'étendre à tout nombre complexe ''ix'' :


Ensuite on bidouille un peu et si on sait que les développements de sinus et cosinus sont :


et


On arrive facilement à démontrer la formule d'Euler.


Si tu veux une autre démonstration (qui probablement est plus proche de ton niveau : il suffit de maitriser le concept de dérivée pour s'en sortir), la voici :

Définissons


Remarque : f est définie sur l'ensemble des réels car ne s'annule jamais.


Calculons la dérivée de cette fonction :



Ainsi, f est une fonction constante, or



Etant donné que f est constante,

Ce qui implique


On a ainsi démontré que

[A voir en vidéo sur Futura]