Besoin d'aide à partir de la question 2 ^^'
Pour n supérieur ou égal à 1 , le n-ième nombre de Mersenne est le nombre Mn = 2^n - 1
1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres Mn pour n inférieur ou égal à 6 ?
2. Montrer que, si d est un diviseur de n , Mn est divisible par 2^d - 1 . En déduire que si Mn est
premier, alors n est premier.
3. Si p est premier, Mp est-il également premier ?
4. Montrer que, si a^n - 1 est premier, alors nécessairement a=2 et n est premier.
Bonjour,
Pour la question 2 vous pouvez écrire n=kd et vous devez montrer que 2d-1 divise 2kd-1. Par congruence vous n'y arriverez pas, en revanche ça revient à montrer que (2kd-1)/(2d-1) est un entier. Et en fait ça c'est une forme que vous connaissez. Je vous donne un petit indice :
Là ça devrait ressembler à quelque chose que vous connaissez.
Pour la deuxième partie de la question, faites le par contraposition. Supposez n non premier, ce sera assez évident que Mn non plus.
Pour la question 3, je vais vous épargnez pas mal de calculs. Essayez avec M11
Enfin la 4, vous pouvez faire une disjonction de cas suivant a. Déjà si a=2 vous avez montrer le résultat à la question 2. Puis vous regardez a>2 et vous tentez de montrer que an-1 n'est jamais premier. Encore une fois il y a des cas où c'est simple.
Merci beaucoup pour votre aide précise et complète !
Pour la question 4), est-il possible de faire autrement ?
Si en effet, d'ailleurs je n'arrive pas à conclure moi-même. De tête j'avais fait tomber tous les nombres impaires (donc tous les nombres premiers aussi) ainsi que les puissances de 2, ça m'a laissé penser qu'on pourrait facilement finir ^^.
Donc il y a beaucoup plus simple. an-1 est divisible par a-1, je vous laisse justifier pourquoi.
Si on veut que an-1 soit premier il faut donc que a=2.
An-1 divisible par a-1 ok mais comment montrer qu'il faut absolument a=2 pour que an-1 soit premier ? ^^'
Merci mille fois j'ai enfin boucle l'exercice Grace a vous !
