Fonction/Géométrie

[invite4901f129]

Bonjour,

Voilà je n'arrive pas à faire cet exercice que voici :


On considère un carré ABCD de côté 10 cm. Sur le côté [AB], on place un point L. On pose AL = x (en cm) et on place sur [DA] un point P tel que DP = x cm. On construit alors le triangle LCP.

Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel. On appelle f la fonction qui à tout x de [0;10] associe l'aire du triangle LCP.

1a) Exprimer en fonction de x les longueurs des segments AL, BL, DP puis AP.

b) Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP, LBC et CDP.

c) En déduire que f(x) = 1/2(x-5)² + 75/2


2a) Justifier que, que pour x de [0;10], f(x) inférieur ou égal 37.5

b) Peut-on avoir f(x) = 37.5 ?

c) Existe-t-il un triangle d'aire minimale ? Si oui, préciser les points L et P.


Je suis bloqué à la première question. Je ne vois pas comment on peut procéder, car on connait juste les mesures de AB, BC, CD et DA qui est de 10 cm. Pour le reste je ne vois pas comment on peut procéder puisque nous avons aucun autre repère... cela signifirai donc, que AL, BL, DP et AP = x ?
-----

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Avant toutes choses, si vous ne l'avez pas déjà fait, faites un dessin. C'est un exercice de géométrie, la première chose qu'on fait avant même de réfléchir c'est de faire un schéma.
Vous avez bien AL=DP=x par construction des points L et P. Pour BL et AP, ces distances là vont s'exprimer en fonction de x, mais ne sont pas égales à x (regardez sur votre dessin, si vous n'avez pas mit L au milieu de votre segment AB, vous devez voir que AL et BL ne sont pas égales).

Le fait que vous ne connaissiez pas x ne change pas la manière dont vous l'appréhendez. Vous avez AL=x et AB=10, que dire de BL ?

Pareil pour les aires des triangles, vous aurez tout en fonction de x*. Mais fonction de x ou pas, vous calculez l'aire d'un triangle de la même manière que vous l'avez toujours fait, c'est à dire la moitié du produit de la base par la hauteur du triangle.


*Et même en fonction de x² par homogénéité, mais ça n'a pas tellement d'importance.

[invite4901f129]

Désolé j'ai oublié de joindre le dessin qui est avec l'exercice :

http://www.hostingpics.net/viewer.ph...609IMG0449.jpg

Donc en effet vous avez raison à vu d'oeil on voit bien que BL et AP ne sont pas égales. Pour BL on peut en déduire qu'il est égal à AB-AL c'est-à-dire à 10-x ?

Quand vous dites "c'est à dire la moitié du produit de la base par la hauteur du triangle." Par exemple pour le triangle LCB cela signifie S = LB*BC/2 ?

[invite4901f129]

Bon voilà j'ai trouvé ça :

AL = x
BL = 10-x
DP = x
AP = 10-x

Est-ce juste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Si nos efforts sur un autre forum ne vous ont pas satisfait, dites-le nous tout simplement, on arrêtera de vous répondre.
Schulhof vous en a déjà dit beaucoup plus que je ne l'aurais fait, mais apparemment, ce n'est pas suffisant pour vous.
Ce qui parait assez amusant est que vous vouliez faire vérifier par quelqu'un d'autre ce qu'il vous a dit.
Peut-être qu'il existe des forum où on trouve la réponse, ici, j'en suis pas sûr, pas plus que dans l'autre où il y a eu une quinzaine de messages.

PS Vous dites : "J'ai trouvé ça" ce n'est pas vrai, c'est pas vous qui l'avez trouvé.

[inviteaf48d29f]

Indication supprimé pour cause de foutage de gueule ostensible. Pourquoi tenter d'extorquer des réponses plutôt que de réfléchir un tant soit peu par vous même ?

Merci à Dlzlogic pour l'information.

[invite4901f129]

J'ai mis sur deux forums, car parfois cela peut petre expliqué d'une façon différente d'un forum à l'autre et compris sur l'un et non sur l'autre.

Enfin bref pas grave. De plus, je ne peux plus aller sur l'autre forum tu en es pour quelque chose Dlzlogic ? Ceci dit, je n'essaye pas d'extorquer des réponses bien au contraire j'essaye de comprendre comment y procéder. Si c'était pour chopper des réponse, je serai allé voir des amis tout simplement, mais ce n'est pas mon but je veux certe avoir les réponses cela serai faire la langue de bois que de le nier, mais je veux aussi comprendre, car le jour où je serai en devoir personne ne pourra m'aider !

Si vous ne voulez plus m'aider c'est vraiment dommage, mais je vous remercie quand même de l'aide que vous m'avez apporté.

[Dlzlogic]

Bon, je vais essayer de répondre gentiment.
L'autre forum est effectivement en panne, mais je n'y suis pour rien.
Quand on demande de l'aide, on est censé accepter l'aide.
J'ai suffisamment fait de math et depuis suffisamment longtemps pour que lorsque je dis que deux valeurs sont égales, il y a de grandes chances que ce soit vrai, même si "à l'oeil" vous estimez que non. Quand Schulhof, le répète en début de sa réponse (il considérait probablement que c'était acquit) ça ne vous empêche pas de me dire en PS que ce n'est pas vrai, puis de demander confirmation sur un autre forum.
Non seulement les points dont on parle sont tout à fait évidents, mais surtout, vous ne voulez faire aucun effort. Là, on ne peut rien faire pour vous.

[invite4901f129]

Veuillez m'excuser alors. Je vais donc faire un effort.

Maintenant que je sais grâce à l'aide d'une tiers personne les longueurs, passons à l'aire. Pour ALP cela fait 5x-x². Ai-je juste ? Si c'est le cas pouvez m'expliquer ou tout du moins me mettre sur une piste pour cette question "Justifier que, que pour x de [0;10], f(x) inférieur ou égal 37.5", car je ne vois pas du tout ce qu'ils veulent dire...

Encore une fois veuillez m'excuser.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1. OK ou des explications pour l'obtention de f(x) ?

2.a. on a : .

Que peux-tu dire de pour tout ? donc pour f(x) ?

2.b. Pour quelle valeur de x pourrait-on avoir f(x) = 75/2 ? (oui 75/2 = 37,5). Est-ce possible sur la situation proposée ?

2.c. La réponse découle directement de ce qui précède.

Duke.

[invite4901f129]

Bonjour,

En effet, je veux bien des explications pour obtenir f(x).

Alors pour ALD j'ai trouvé 5x-x², LBC 50-5x et CDP 5x. Pour LBC le résultat me parait bizarre. Est-ce que le calcul est bien 10(10-x) ?

Donc qu'est-ce que je peux dire pour 1/2(x-5)²... Euh que ça ressemble assez au résultat que de ALD... Donc on pourrait en déduire en effet que c'est bien la formule pour f(x).

Pour le reste je dois avouer que je ne comprends pas très bien ce que cela signifie...

[Dlzlogic]

Petits conseils,
1- relisez votre énoncé depuis le début
2- faites la figure (papier crayon). Ce qui implique que vous aurez lu au moins 2 fois l'énoncé.
3- cessez de compter sur les autres pour faire cet exercice

[invite4901f129]

C'est ce que je viens de faire Dlzlogic, mais il reste une zone d'ombre... Je ne comprends pas l'énoncé suivant : "Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel. On appelle f la fonction qui à tout x de [0;10] associe l'aire du triangle LCP."

[Dlzlogic]

Cet énoncé me parait assez clair, mais on peut le dire autrement.
Le triangle LCP détermine une zone. Cette zone a une aire que l'on peut calculer. Suivant la position des points L et P , la forme de ce triangle va changer, donc son aire. On cherche à déterminer si il existe un triangle LCP dont l'aire sera la plus petite possible. On suppose que c'est le cas, alors, quel est ce triangle?
On va définir et calculer une fonction que l'on appelle f. Cette fonction donne la valeur de l'aire du triangle LCP. On rappelle que pour tout x compris entre 1 et 10 on peut calculer l'aire du triangle LCP.

Naturellement c'est moins concis que l'énoncé, un peu plus long à lire, mais peut-être plus facile à comprendre pour vous.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

En effet, je veux bien des explications pour obtenir f(x).

Avec le schéma, tu vois bien que la somme des aires des quatre triangles correspond à l'aire du carré.
Ainsi, l'aire du triangle LCP peut être trouvée en considérant l'aire du carré ABCD auquel on a retiré les aires des triangles DCP, BLC et ALP. Tu me suis ?

Alors pour ALD j'ai trouvé 5x-x², LBC 50-5x et CDP 5x. Pour LBC le résultat me parait bizarre. Est-ce que le calcul est bien 10(10-x) ?

Attention pour ALP, c'est x(10-x)/2 = 5x - x²/2 !
Pas de problème pour les deux autres. Qu'est-ce qui te gène dans LBC ?

Maintenant, il te suffit d'effectuer le calcul suivant :

A_LCP = A_ABCD - (A_DCP + A_BLC + A_ALP)

où A_... représente l'aire de ...
Cette équation provient des deux premières lignes de ce message... ce n'est pas de la magie

En ayant exprimé les aires des trois triangles en fonction de x, et en remplaçant ci-dessus par leur expression en fonction de x, tu dois retrouver f(x).
En développant, tu obtiens un polynôme du second degré que tu peux réécrire sous la forme proposée en te souvenant notamment que x² - 2ax = (x-a)² - a²

Comme tu connais le résultat, à toi d'y parvenir sans "truander"...

Donc qu'est-ce que je peux dire pour 1/2(x-5)²... Euh que ça ressemble assez au résultat que de ALD... Donc on pourrait en déduire en effet que c'est bien la formule pour f(x).

Pour le reste je dois avouer que je ne comprends pas très bien ce que cela signifie...

Je repose ma question autrement.
Que peux-tu dire du signe de 1/2(x-5)² pour tout x ? Peux-tu le justifier rapidement ?

Duke.

[invite4901f129]

Ah, mais je ne savais pas que la somme des aires des quatre triangles correspond à l'aire du carré... Maintenant pour la prochaine fois, je le saurais En effet maintenant cela paraît "plus simple" pour calculer l'aire de LCP !

Et bien pour LBC c'est le résultat que me gène, car 50-5x je trouve ça "gros" par rapport aux autres résultats. Mais pour ALP pourquoi 5x - x²/2 ? Car pour obtenir 5x, il faut diviser par 2, donc pourquoi ensuite le restaurer dans le résultat final ?

Du signe de 1/2(x-5)²... Et bien franchement et ce n'est pas un blague loin de là, cela m'embête réellement, car malheureusement je suis incappable de vous répondre...Je ne ne comprends vraiment pas ce que vous voulez dire... :/

[Duke Alchemist]

Re-

Ah, mais je ne savais pas que la somme des aires des quatre triangles correspond à l'aire du carré... Maintenant pour la prochaine fois, je le saurais En effet maintenant cela paraît "plus simple" pour calculer l'aire de LCP !

Ce n'est pas une histoire de savoir mais de voir tout simplement

Et bien pour LBC c'est le résultat que me gène, car 50-5x je trouve ça "gros" par rapport aux autres résultats.

Numériquement, il n'est pas si "gros" que cela...
Prends des valeurs pour x et compare les différentes aires. Ce qui est rassurant c'est que son aire est comprise entre 0 et 50 cm² (donc inférieure ou égale à la moitié de l'aire du carré ABCD)

Mais pour ALP pourquoi 5x - x²/2 ? Car pour obtenir 5x, il faut diviser par 2, donc pourquoi ensuite le restaurer dans le résultat final ?

Oui mais c'est bien , non ?

Du signe de 1/2(x-5)²... Et bien franchement et ce n'est pas un blague loin de là, cela m'embête réellement, car malheureusement je suis incappable de vous répondre...Je ne ne comprends vraiment pas ce que vous voulez dire... :/

Ne vois-tu pas un carré (...²) dans l'expression ? Donc...

Duke.

EDIt : Quelle idée aussi de développer les expressions des différentes aires... On pourrait factoriser très vite par 1/2 la somme des aires des triangles rectangle...

[invite4901f129]

[QUOTE=Duke Alchemist;3737386]
Oui mais c'est bien , non ?QUOTE]

Ah, mais oui bien-sûr ! Je suis trop c*n j'ai "sauté" une étape, je suis passé de au résultat, donc je n'ai pas mis ... --' Vraiment impardonnable...

En effet, je vois bien qu'il y a un "²" dans l'expression. Donc cela pourrait signifier que si on aditionne les aires des triangles elle sont égales à celle du carré ?

Factoriser très vite pour vous oui je n'en doute pas une seule seconde, mais pour moi c'est encore une autre histoire ^^

[Duke Alchemist]

Re-

En effet, je vois bien qu'il y a un "²" dans l'expression. Donc cela pourrait signifier que si on additionne les aires des triangles elle sont égales à celle du carré ?

N'as-tu pas vu dans ta scolarité qu'un carré était toujours positif ou nul (dans l'ensemble des réels... je précise pour les ceux qui connaissent les complexes) donc (x-5)² > 0 (lire "supérieur ou égal à 0").
Quelle en est la conséquence sur les valeurs que peut prendre f(x) ?

Duke.

[invite4901f129]

Je dois vous avouer que franchement non ça ne me dit rien du tout, je ne me souviens pas d'avoir vu ça en 3ème... Mais bon c'est sûrement de ma faute ceci dit...

La conséquence sur les valeurs de f(x) c'est qu'en effet on ne peut pas dire f(x) = 37.5, car (x-5)² > 0. En somme, les valeurs de f(x) peuvent aller de 0 à 37.5

Je me doute qu'à chacune de mes nouvelles réponses vous devez tomber de très haut, mais je vous assure que je fais vraiment de mon mieux pour vous répondre.

[Duke Alchemist]

Re-

Je dois vous avouer que franchement non ça ne me dit rien du tout, je ne me souviens pas d'avoir vu ça en 3ème... Mais bon c'est sûrement de ma faute ceci dit...

Très surprenant en effet...

La conséquence sur les valeurs de f(x) c'est qu'en effet on ne peut pas dire f(x) = 37.5, car (x-5)² > 0.

Si (x-5)² > 0 alors 1/2*(x-5)² > 0 et f(x) = 1/2*(x-5)² + 37,5 > 37,5. Oui ? Non ?

En somme, les valeurs de f(x) peuvent aller de 0 à 37.5

Certainement pas ! 37,5 est la valeur minimale de f(x) !

Je me doute qu'à chacune de mes nouvelles réponses vous devez tomber de très haut, mais je vous assure que je fais vraiment de mon mieux pour vous répondre.

Un peu mais je vois ça un peu chaque jour aussi...

Duke.

[invite4901f129]

Ah, mais oui il faut bien-sûr prendre en compte toute l'expression je m'étais focalisé sur le début de l'expression en oubliant le 75/2 c'est-à-dire comme vous me l'avez démontré 37.5, car forcément > 0 + 37.5 = > 37,5. Donc en effet 37.5 est la valeur minimale de f(x). Cependant, on ne peut pas dire que f(x) = 37.5 non ?

[invite51d17075]

f(x) varie en fonction de x ( sinon ce ne serait pas une étude de fonction ).
essayes de calculer f(0) et f(10) pour te rendre compte.

[Duke Alchemist]

Re-

... Cependant, on ne peut pas dire que f(x) = 37.5 non ?

Dans "supérieur ou égal", il y a "égal" non ?
Cela sous-entendant, qu'a priori, il y a au moins une valeur de x pour laquelle f(x) vaut 37,5...
Et cette valeur est celle pour laquelle 1/2*(x-5)²=0 soit x=...

Conclus.

Duke.

[invite4901f129]

Question stupide en effet excusez-moi...

Soit x= 5... ?

[inviteaf48d29f]

Re-Dans "supérieur ou égal", il y a "égal" non ?
Cela sous-entendant, qu'a priori, il y a au moins une valeur de x pour laquelle f(x) vaut 37,5...

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette remarque. 2≥1 et il n'y a aucune valeur ou c'est atteint

NB : Je viens de remarquer que pour faire le signe "supérieur ou égal" vous souligniez le signe "strictement supérieur", c'est astucieux.

[Duke Alchemist]

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec cette remarque. 2≥1 et il n'y a aucune valeur ou c'est atteint

En effet, j'ai laissé la rigueur de côté sur ce coup-là...
Il est vrai que ce n'est pas un équivalence. J'étais parti du fait que le carré s'annulait effectivement pour x=5 (C'est bien ça Arnaud_Astro) et donc que l'égalité était vérifiée.

NB : Je viens de remarquer que pour faire le signe "supérieur ou égal" vous souligniez le signe "strictement supérieur", c'est astucieux.

Personnellement, je préférerais faire comme comme toi (via le code ASCII, non ?) mais je ne les connais pas sauf le "Alt241" (±) qui m'est très souvent utile.

Cordialement,
Duke.

[inviteaf48d29f]

Le problème c'est que beaucoup de caractères mathématiques n'ont pas de alt code (≠ ASCII code). J'ai fini par me faire un fichier bloc note dont je me sers pour faire des copier-coller. C'est un peu artisanal, mais c'est plutôt efficace, avec un peu d'habitude ça va a peine moins vite que de taper un alt code.

Voici la liste des symboles de maths dont je me sers, si ça peut être utile à quelqu'un (avec l'alt code quand il y en a un...) :

α
β
ϐ
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
ς
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Γ
Δ
Θ
Λ
Ξ
Π
Σ
Φ
Ψ
Ω
∂
∇
⇒
⇔
∧
∨
[alt+170] ¬
☐ (dont je me sers aussi comme D'Alembertien, parce que bon, l'opérateur de nécessité... disons que je ne m'en sers pas tous les jours ^^)
◊
∀
∃
~
∝
∈
∉
⊆
⊂
⊈
∪
⋂
→
↦
[alt+155] ø
[alt+157] Ø
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
ℂ
≤
≥
[alt+158] ×
[alt+0247] ÷
≈
≃
≡
√
∞
∏
∫
∬
∭
∮
∯
Et enfin mon préféré : ∰
Celui là je cherche l'occasion de le sortir un jour, de préférence sur le forum de physique.

[invite4901f129]

Super, merci vraiment Duke pour votre aide

S321 vraiment pratique !

[inviteea028771]

Voui, enfin bon, sur ce forum on a la chance d'avoir un module LaTeX, donc autant s'en servir