DM Suite de Fibonacci (Urgent)

[invitee130aeed]

Bonjours à tous,

J'aurais besoin d'aide pour la dernière question de cet exercice (désolé l'énoncé est en anglais car il est tiré d'une épreuve de section europèenne) :

The earliest mathematical model of population growth can be found in the work of Leonardo
of Pisa, in 1220. [. . .] It was about the reproductive behaviour of rabbits. Not in its biological
sense, but numerological. Leonardo took as the basic unit a pair of rabbits - a natural enough
hypothesis. Assume that in the beginning there is one pair of immature rabbits. These mature for
a season. Every season after, they beget one immature pair, which in turn matures for a season.
And of course, all newly mature pairs beget1 one immature pair per season as well. Suppose that
rabbits and their procreative urges never die. How many pairs of rabbits will have been begotten
after n seasons ?
Suppose there are Mn mature pairs and In immature pairs in season n. Then we start out in
season 1 with M1 = 0, I1 = 1. The growth laws are :
In+1 = Mn and Mn+1 = Mn + In.
From Does God play dice ? by Ian Stewart

Questions
1. What is the difference between an immature pair and a mature one ?
2. Explain the growth laws given at the end of the text.
3. In a table, compute the values of Mn and In for n from 1 to 8.
4. Let Tn be the total number of pairs of rabbits in season n. Compute the values of Tn for n
from 1 to 8.
5. Prove that for any natural number n, Tn+2 = Tn+1 + Tn and deduce that (Tn+2/Tn+1)*(Tn+1/Tn)=Tn+1/Tn+1 +1
6. We admit that the ratio Tn+1/Tn
approaches a positive real number q when n approaches +1.
a. Explain why we can say that q is a solution of the equation x^2− x − 1 = 0.
b. Compute the exact value of q.


Voici ce que j'ai essayé de faire pour la question 6 :
En partant de Tn+1/Tn=(TTn+2/Tn)-1, J'ai remplacé en utilisant Tn=Mn+In puis en utilisant les relation de l'énoncé j'ai tenté d'aboutir à une expression ne comportant que des Mn ou des In mais je n'arrive à rien de concluant.


Merci de votre aide.
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[invite4492c379]

Hello,

en fait à la question 6 on suppose l'existence d'un réel q tel que

La question est simplement d'expliquer pourquoi ce réel q doit être une racine de x²-x-1=0, puis de le calculer. Tu n'as plus besoin d'avoir recours aux suite I et M, mais effectivement tu peux te servir du résultat de la question 5.

[invitee130aeed]

Comment puis-je utiliser les résultats de la question 5 sans avoir recours aux suite I et M ?

[invite4492c379]

Quelle est la dernière relation que tu as prouvé en 5 ?
Que se passe-t-il si tu en prends la limite ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee130aeed]

La dernière relation de la question 5 est Tn+1/Tn=(TTn+2/Tn)-1. Mais je ne vois pas comment en prendre la limite sans passer par les suites I et M.

[invite4492c379]

Non, ce n'est pas cette relation que l'on te demande de montrer ... je parle de la dernière. Tu as réussi à la démontrer ?

[invitee130aeed]

La question 5 est : Prove that for any natural number n, Tn+2 = Tn+1 + Tn and deduce that (Tn+2/Tn+1)*(Tn+1/Tn)=Tn+1/Tn+1 +1
Donc pour moi la dernière relation est bien Tn+1/Tn=(TTn+2/Tn)-1 (bien sûr en simplifiant les Tn+1 et en enlevant 1 pour se ramener à la forme de la question 6).
De qu'elle relation parlez vous ?

[invite4492c379]

Tu ne peux utiliser la relation soulignée pour prouver la première ... on te demande de prouver la première d'abord puis d'en déduire la seconde. Tu utiliseras celle que tu as soulignée à la question 6 en passant a la limite.

[invitee130aeed]

Pour la question 5, j'ai démontrer Tn+2 = Tn+1 + Tn en disant que
Tn=In+Mn
d'où Tn+(Tn+1)=In+Mn+(In+1)+(Mn+1)
Puis en utilisant les formule de l'énoncé on a :
Tn+(Tn+1)=In+Mn+(Mn+2)
Tn+(Tn+1)=(Mn+1)+(Mn+2)
Tn+(Tn+1)=(In+2)+(Mn+2)
Tn+(Tn+1)=(Tn+2)

Mais je ne comprend pas ce que vous voulez dire pour la question 6, Je dois dans un premier temps passé à la limite de quelle expression ?

[invite4492c379]

OK, c'est bon. Tu en déduis donc l'égalité que tu as soulignée.
Au début de la question 6, on te donne un réel q, qui comme je t'ai expliqué est défini comme la limite quand n tend vers plus l'infini du quotient de T indice n+1 pat T indice N (cf mon post)
La question est de démontrer que q est une racine de x²-x-1=0. Une façcon de faire est de vérifier que q verfier cette équation. Qu'obtiens-tu si tu passe ton égalité soulignée à la limite ?

[invitee130aeed]

Vous m'avez dit que je n'ai pas a utiliser les suites I et M pour cette question, je ne vois donc pas comment passer à la limite de mon expression étant que je ne connais alors aucune expression de Tn.

[invite4492c379]

Comment comprends-tu la question 6 ? Que penses-tu que l'on te demande de faire ?

[invitee130aeed]

On me demande de montrer que la limite q quand n tend ver + infini de (Tn+1/Tn) est solution de l'équation x^2-x-1 donc que limite quand n tend ver + infini de (Tn+1/Tn) vaut (1+sqrt(5))/2 ou que par un changement de variable on montre que (Tn+1/Tn)=x^2-x-1 (avec x=Tn). Mais je vois pas comment faire pour aucune des deux solutions.

[invite4492c379]

On me demande de montrer que la limite q quand n tend ver + infini de (Tn+1/Tn) est solution de l'équation x^2+-x-1 donc que limite quand n tend ver + infini de (Tn+1/Tn) vaut (1+sqrt(5))/2

c'est presque ça. Dans la partie 6a on te demande d'expliquer pourquoi q est solution de x²-x-1=0 et seulement dans la partie 6b on demande une valeur de q.

Le tout est de traduire la fin de l'exercice 5 pour faire apparaître q ...



...

[invitee130aeed]

Je suis désolé mais je vois pas comment faire apparaitre q.

[invite4492c379]

Hello,

en fait à la question 6 on suppose l'existence d'un réel q tel que

(...)

(...)

...

Si tu cherches un peu ...

[invitee130aeed]

Je m'excuse pour le temps que j'ai mis pour répondre, j'étais parti manger.

On peut dire que la limite quand n tend vers +infini de (Tn+1)/Tn +1est égal à la limite quand n tend vers +infini de [(Tn+2)/(Tn+1)]*q. Mais je ne vois pas à quoi ça nous mène.

[invite4492c379]

J'ouvre une parenthèse car tu t'approches de la solution. Consulte ton cours ... si tu as que peux-tu dire de ou de ?

[invitee130aeed]

La limite lorsque n tend vers +infini de Un+1 = u+1 et limite de Un+32=u+32. Mais pour continuer je dois bien déterminer la limite quand n tend vers +infini de (Tn+2)/(Tn+1) ? Si oui, comment faire ?

[invite4492c379]

La limite lorsque n tend vers +infini de Un+1 = u+1 et limite de Un+32=u+32. Mais pour continuer je dois bien déterminer la limite quand n tend vers +infini de (Tn+2)/(Tn+1) ? Si oui, comment faire ?

Non, dans ma question le +1 et +32 sont au niveau de l'indice ... si lim U indice (n)=u, que peux-tu me dire de lim U indice (n+12) ?
Tu ne vois pas le lien avec ma question et la limite de (Tn+2)/(Tn+1) ?

[invitee130aeed]

Si c'est en indice je ne l'ai pas dans mon cours.

[invite4492c379]

tu as quoi dans ton cours sur les limites ? peut-être un changement de variable ?

[invitee130aeed]

Je n'ai pas de changement de variable non plus.

[invite4492c379]

Alors tu es coincé pour justifier que :

[invite058b6c66]

N'empêche la question est quand même difficile, car on lui demande implicitement de justifier que la limite d'un produit vaut le produit des limites. En gros il est face à une égalité de la forme :



où :

et et et .

Si le fait d'écrire qu'une limite d'une somme est la somme des limites est toujours vraie (linéarité de l'opération limite :
il n'en est pas de même pour la limite d'un produit.

Comment peut-il justifier que:

?

Dans le cas général c'est une égalité fausse, prenez a(n)=1/n et b(n)=n. Leur produit vaut 1, donc la limite est 1. Mais le produit de leur limite vaut 0 multiplié par l'infini, et c'est une forme indéterminé.

Ici on a le droit de passer au produit des limites, mais il faut d'abord indiquer qu'on peut le faire car on connait la limite de a(n) et de b(n). D'après l'énoncé lim b(n)=q, d'ailleurs le fait qu'une seule des deux suites ait une limite finie suffit à justifier le passage.

Quant à a(n) qui te préoccupe, il suffit de voir que a(n)=b(n+1). Si la suite b tend vers q, quelle est la limite de a?

[invitee130aeed]

D'après le poste de photon57 la limite de a(n) est égal à la limite de b(n) donc à q. Mais comment le démontrer ?

[invite4492c379]

Regarde dans ton cours si tu as qqch qui ressemble à http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A...Multiplication, par exemple.

[invitee130aeed]

D'accord merci, j'avais ça dans mon cours mais uniquement pour les fonctions par pour les suites.

[invite4492c379]

Je pense que tu peux raisonnablement conclure alors
Juste pense à justifier pourquoi q est égale à la racine positive et pas à la racine négative.

[invite058b6c66]

J'ai certes donné un nom a(n) à l'une et b(n) à l'autre, mais si tu réfléchis bien l'égalite : a(n)=b(n+1) signifie que a et b désigne la même suite avec un décalage de un indice. Mais leur nature ne change pas, c'est la même suite. C'est juste que le terme d'indice 10 pour l'une est le terme d'indice 11 pour l'autre. Ca ne change pas leur monotonie ou leur limite. C'est vrai que ce n'est pas encore évident à saisir car on parle de l'infini, mais pour prendre un exemple concret, comprends-tu que deux voitures parfaitement identiques qui se suivent à la même vitesse, à un mètre d'intervalle l'une de l'autre, décrivent en fait le même mouvement, et se dirige vers la même limite?

Ton soucis est de justifier en fait l'égalité, mais il n'y a rien à faire. Là où tu vois plusieurs quantités, on n'en voit en fait qu'une. Que tu écrives (lim u(n+1)) ou (lim u(n)) en fait tu écris deux fois la même chose, à l'identique. Tu as le droit d'affirmer sans le justifier, car la seule façon de le démontrer est d'utiliser la définition formelle d'une limite, et ce n'est pas à votre programme. Vous pouvez donc admettre le résultat utile que :



où g est une fonction qui tend vers + l'infini quand x tend vers + l'infini. En gros tu peux remplacer g(n) par :

1) n+1 (c'est la forme que tu utilise dans ton exercice)
2) n^2
3) 3n-7...

N'importe quoi du moment que ça tend vers l'infini avec n.

J'espère que je ne t'ai pas noyé dans des explications, fais moi part de ton impression si tu as le temps, pour que je sache si je dois rectifier plus tard.