Bonjour
On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :
P(z)= z^4+2z^3+8z^2+2
a- calculez P(i) et P(-i)
Fais!
b- Déterminez le polunôme Q du second degré tel que pour tout complexe z, P(z) = (z^2 +1)Q(z)
c Résolvez dans l'ensemble C l'équation P(z)=0
Merci
Pour le b), il faut écrire Q(z) = az^2 + bz +c , développer (z^2 + 1)Q(z) et identifier les coefficients avec ceux de P(z)
Pour le c), P(z) = 0 est équivalent à (z^2+1)=0 ou Q(z)=0. Et là, tu sais résoudre les deux équations séparément.
Je n'ai pas compris ..
i et (-i) sont des zéros du polynome P donc le polynome peut s'écrire; pour tout z appartenant a C sous la forme de :
P(z)=(z-i)(z+i)Q(z)
= (z^2+1)Q(z)
http://forums.futura-sciences.com/ne...5715&noquote=1
Or dans C, l'équation P(z) admet 4 solution donc P s'écrit sous la forme de
P(z)=(z^2+1)(az^2+bz+c)
= z^4+bz^3+cz^2+az^2+bz+c
Là je bloque
Bonsoir.
Je trouve que Tryss a été clair pourtant...
P(z) est un polynôme de degré 4, OK ?
Aussi, d'après le a., il est possible de factoriser P(z) sous la forme (z²+1)Q(z) et Q(z) est bien un polynôme de degré 2 donc tu peux l'écrire sous la forme Q(z) = az²+bz+c.
Tu développes donc (z²+1)(az²+bz+c) sans te tromper et tu identifies l'expression obtenue à l'expression de P(z) initiale.
Tu obtiens un système d'équations à 3 inconnues que sont a, b et c (du polynôme Q(z)) que tu dois pouvoir résoudre.
Est-ce plus clair ?
Duke.
EDIT : il manque un a devant z4...
Regroupe les termes suivant les puissances de z
Dernière modification par Duke Alchemist ; 17/10/2011 à 20h55.
Bonsoir Duke, j'ai publié au dessus le développement . 20h48 .
Mais je bloque pour l'identificatio, , pour trouver a, b et c
Il suffit de dire que deux polynômes sont égaux si et seulement si tout leurs coefficients sont égaux, donc :
a = 1 (coefficient de z^4)
b = 2 racine(3) (coefficient de z^3)
a + c = 8 (coefficient de z^2)
b = 2 racine(3) (coefficient de z)
c = 7 (coefficient du monôme de degré 0)
Mais que fais-je de cela ensuite ?
Merci
Bah ça te donne Q non?
(z^2 +1) ( z^2 +2racine(3)z +7 )
Merci
Et pour la derniére question quelle formule de P(z) dois je utiliser ?
La dernière que tu as trouvée.
Il te faut donc résoudre l'équation Q(z) = 0 pour avoir toutes tes solutions
Re-
Aide-toi de ce qui précède (notamment le a) puis détermine les éventuelles racines de Q(z) qui est du second degré (discriminant...)
Enfin le produit de plusieurs facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
La forme factorisée est préférable à la forme développée pour déterminer les valeurs annulatrices d'un polynôme...
Duke.
EDIT : Grillé...
Dernière modification par Duke Alchemist ; 17/10/2011 à 21h18.
Donc je fais la dérivée de Q(z) et je calcul le delta ?
Dérivée de Q(z) = 2x+2 X 0/racine(3) ?
Pourquoi veux tu calculer la dérivée de Q? Il te suffit de calculer delta (et de te rappeler qu'ici tu es dans les nombres complexes, donc un delta négatif signifie bien que le polynôme admet deux solutions)
Delta = (2racine(3)^2-4X1X7 = -16
dc 2 racine immaginaire conjuguée =
-2racine(3) + i racine(-16) / 2
et -2racine(3) - i racine(-16) / 2
