Complexe

[invite489d2c5c]

- f est la fonction définie sur par :
f(x) = x^3 + 5x^2 + 5x + 4
Bonjour,

Calculez f(-4) et deduisez que -4 est l'unique solution réelle de l'équation f(x)=0
Fait !

2- On pose P(z) 2z^4 + (10-i)z^3 + (10-5i)z^2 +(8-5i)z-4i
a L'equation P(z) = 0 admet une solution réelle et une seule : trouvez la en utilisant la question 1 Fait !

b L'équation P(z)=0 admet une solution imaginaire pure : trouvez la. Ici je bloque

c déterminez les deux nombres a et b tels que pour tout complexe z :
P(z) = (2z-i)(z+4)(z^2+az+b) Je trouve a= 1 et b=1
Résolvez alors l'equation P(z)=0 Pas réussi, quelle formule prendre ?

Merci beaucoup
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[invitea3eb043e]

Les questions a et b peuvent être abordées exactement de la même façon. Dans le cas a, tu poses z=r (réel) et tu écris que la partie réelle et la partie imaginaire de P(r) sont nulles. Chance : cela se produit pour la même valeur de r car les 2 équations sont identiques !
Pour le cas où z = i r (z imaginaire pur) c'est un peu plus subtil : on trouve 2 équations du 3ème degré qui doivent avoir une racine commune réelle.
Appelons Q(r) = 0 et R(r) = 0 ces 2 équations. En combinant bien ces 2 équations, on montre que r doit être solutin d'une équation plus simple, de degré 2 ou moins.
Reste à vérifier que ça colle bien pour Q(r)=0 et R(r)=0

Pour la partie c, si P(z)=0 c'est qu'un des membres est nul, ça revient à des équations de degré 1 ou 2. Faisable, non ?