Petit exo nombre complexe TS

[loupixx]

Bonsoir tout le monde, je bloque sur un exo, j'y suis depuis un moment je crois savoir comment procéder mais il me manque les compétences calculatoires.. Voici l'énoncé :

Soit z = -3/2 ( √(2-√(2)) - i √(2+√(2) )
1) Calculer z² et donner son écriture exponentielle. Déduire l'écriture exponentielle de z.
2) Quelles sont les valeurs exactes de cos(5π/8) et sin(5π/8)

J'ai commencé mais ce qui me trouble c'est de ne pas trouver de valeurs exactes connues pour l'argument de z²... Auriez-vous des conseils ? Merci
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Dans un premier temps, que trouves-tu pour z² ?
En factorisant par 9, on trouve une expression (très) connue

Duke.

[loupixx]

Pour z² je trouve ((-3√(2-√(2) )/2 + i(3√(2+√(2) )/2 )² ensuite quand je développe, je trouve des résultats a la calculatrice arrondis, sans racines. Je ne sais pas comment procéder

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je ne trouve pas cela du tout pour z²...

En regardant ton expression, on a l'impression que tu as juste développé ton "-3/2" et que tu n'as pas développé ton ²...

Rappel : si z = a+ib alors z² = (a+ib)² = a²-b²-2iab.

 Cliquez pour afficher

Il te faut trouver sous une forme pas nécessairement factorisée au maximum mais sympathique :


A toi de jouer... maintenant que tu sais ce que tu dois trouver

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[loupixx]

Je ne comprend décidément pas ce que fait le -9 devant ni le reste. Pour calculer z² j'ai d'abord distribuer le -3/2 avec ( √(2-√(2)) - i √(2+√(2) ) c'est qu'après qu'on élève au carré c'est bien ça ?

[Duke Alchemist]

Re-

Nul besoin de distribuer le -3/2 (ce n'est pas faux mais pas utile) mais par contre il te faut développer ton carré : c'est de la distribution dont j'ai rappelé la "formule"...
Tout calcul fait, tu dois retomber sur le résultat que j'ai indiqué dans le "spoiler".

Duke.

[loupixx]

En développant comme vous me dîtes je trouve
z² = -3/2 ( 2-√(2) - 2√(2)i + i² 2+√(2) )
= 9/4 ( -2√(2) - 2√(2)i )
= 9 (-√(2)/2 - √(2)/2i ) donc le résultat qu'il fallait. Merci beaucoup!
Mon développement est juste ?..

[Duke Alchemist]

Re-

En développant comme vous me dîtes je trouve
z² = (-3/2)² ( 2-√(2) - 2√(2)i + i² (2+√(2)))...
Mon développement est juste ?..

Le "-3/2" est au carré soit 9/4 en rouge !
N'oublie pas les parenthèses au niveau du terme en bleu
J'opte pour des coquilles... mais prend garde sur ta copie !...

Et pour la suite, cela va ?

Duke.

[loupixx]

Merci, oui ce sont des erreurs à éviter!
Pour la suite j'ai eu l'idée de poser z²=z1 x z2
avec z1 = -9 et z2= √(2)/2 + √(2)/2i
pour utiliser les propriétés des modules et arguments pour facilement. Je trouve mod(z²)= mod(z1) x mod(z2) = 9x1=9
par contre pour les arguments j'ai arg(z1) = pi et arg(z2) = pi/4
donc arg(z²) = 5pi/4...
Mais ne fallait-il pas trouver 5pi/8 ?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour la suite j'ai eu l'idée de poser z²=z1 x z2
avec z1 = -9 et z2= √(2)/2 + √(2)/2i
pour utiliser les propriétés des modules et arguments pour facilement. Je trouve mod(z²)= mod(z1) x mod(z2) = 9x1=9
par contre pour les arguments j'ai arg(z1) = pi et arg(z2) = pi/4
donc arg(z²) = 5pi/4...

OK à ceci près que je ne me serais pas ennuyé avec z1 et z2 mais bon tu y arrives avec cette méthode et c'est bien là le principal

Par conséquent, si et , tu peux donc écrire sous sa forme exponentielle soit

 Cliquez pour afficher

Mais ne fallait-il pas trouver 5pi/8 ?

Si mais pour z pas pour z² !
Si pour , tu trouves un argument de et un module de 9 alors aura un argument de et un module de et en comparant à l'expression initiale (qu'il faudra modifier un tout petit peu), tu retrouveras les expressions (valeurs exactes) de et

Duke.

[loupixx]

Bonjour,
J'ai trouvé pour les valeurs exactes cos(5pi/8)= -3√(2-√(2) )/2 et sin(5pi/8)= 3√(2+√(2) )/2
en développant -3/2 dans l'expression initiale, mais je suis pas bien sûre..

[Duke Alchemist]

Re-

Les valeurs que tu obtiens sont-elles bien comprises entre -1 et 1 ?
En comparant bien, tu verras que le 3 est en facteur et qu'il n'apparaît pas dans les valeurs recherchées...

Pour bien repérer ton erreur, pourrais-tu indiquer les réponses aux questions posées notamment les expressions exponentielle et trigonométrique de z ?

Duke.

[loupixx]

J'ai compris mon erreur grâce à vos explications!
l'écriture exponentielle de z est 3ei(5pi/8) qui peut également s'écrire 3(cos(5pi/8) + isin(5pi/8)
en comparant avec l'écriture initiale, en mettant le 3 en facteur on obtient bien les valeurs exactes
cos(5pi/8) = -√(2-√(2) )/2 et sin(5pi/8) = √(2+√(2) )/2

[loupixx]

Je vous remercie beaucoup de votre aide Duke,
j'ai recommencé l'exercice entièrement et il parait de suite plus simple

Bonne journée à vous, cordialement