Equations du second degré à coefficients complexes

[invite489d2c5c]

Bonjour,

A- Dans cette partie, on va prouver que tout nombre complexe non nul a deux racines carrées.

1- Soit X+iY un nombre complexe ( X et Y réels).
Quel est le module de X+iY ?

Là j'ai trouvé module racine X^2+Y^2

2- Vérifiez que (x+iy)^2 = X+iY équivaut à :
x^2-y^2 = X
2xy=Y
x^2+y^2 = Racine X^2+Y^2

3- Déduisez en l'existence de deux couples (x;y) solution de (x+iy)^2 = X+iY

4- Trouvez les racines carrées de : -3+4i ; -21-20i et -7+24i .

B- Dans cette partie, on va prouvez que toute équation du second degré à coefficients complexes a deux racines.

On note (E) : az^2+bz+c=0 (a différent de 0 ) cette équation. Par factorisation canonique, on obtient :
a[(z+b/a)^2-(b^2-4ac)/(4a^2) ] =0

Delta est un nombre complexe donc, d'après la partie A, il existe deux nombres sigma et - sigma tels que : delta = sigma^2=(-sigma)^2

1- Factorisez az^2+bz+c.
2- Déduisez en les racines de l'équation E.
3- Résolvez chacune des équations du second degré suivantes :
a: z^2+(1+4i)z-5-i=0
b: 2iz^2+(3+7i)z+(4+2i)=0
c: z^2+(1+8i)z-17+i=0

Merci beaucoup de votre aide. Comme vous voyez je n'ai suis bloqué a la question 2 ..
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[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Partie A.
1. OK

2. Il te suffit de développer (x+iy)², de regrouper les termes réels et imaginaire et de comparer à X+iY...

3. Peut être faite même sans avoir fait la 2. (c'est-à-dire en admettant le résultat, tu t'en sers tout simplement) C'est un réflexe à avoir pour éviter de coincer bêtement dans un DS ...

4. C'est une application directe de la 3.

Où bloques-tu pour la partie B ?

Duke.

[invite74f9d966]

Bonsoir,

Jeudi dernier je me suis penché sur exactement le même sujet de Devoir Maison avec deux élèves que j'ai depuis leur 1ère S mais je ne sais pas du tout comment on peut trouver pour la question 3) de la partie A :
Déduisez-en l'existence de deux couples (x,y) solutions de (x+iy)² = X+iY.
J'essaye dans tout les sens mais je ne trouve pas alors que je suis assez bien qualifié sur les nombres complexes.

Ensuite pour la partie B je n'arrive pas à retrouver la factorisation canonique de az²+bz+c sans faire une seule faute serait-il possible d'avoir la démonstration en entière que je puisse expliquer à mes élèves.

Merci encore de votre compréhension et de votre aide. Ils ont fondé énormément d'espoir en moi en cette Terminale S je ne dois pas les décevoir.

Cordialement Libre_Etudiant37

[pallas]

des deux équations x²-y²=X et 2xy =Y tu gardes en mémoire le signe de xy et tu élèves au carré la seconde soit x²y²=Y²/4 que tu multilplies par -1 et tu obtiens le système x²+(-y²)=X et x²(-y²) = -Y²/4 et tu as la somme et le produit des nombres x²et -y² solutions de t²-st+p=0 soit t²-Xt+(-Y²/4)= 0 et tu continues la discriminant etc ... ( en mémoire xy du signe de Y)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite74f9d966]

Désolé pallas je ne comprends absolument pas ta démonstration, pourrais tu donnais plus d'informations si cela ne te dérange pas bien sur.

Cordialement Libre_Etudiant37

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Du système établi au 2., on déduit que :
|X+iY| = x²+y²
et
Y² = 4x²*y² soit x²*y²=Y²/4
OK ?

Si on note x²+y²=S et x²*y²=P, cela devrait rappeler de bons souvenirs

 Cliquez pour afficher

Le programme de 1ère S revient en force : Connaissant la somme S et le produit P de deux nombres, on sait que ces nombres sont solutions de l'équation x²-Sx+P=0
ATTENTION ! le "x" de cette équation n'est pas celui du problème ! D'où la proposition de pallas de le noter t et pas x
Notons l'équation plutôt sous la forme t²-St+P=0

En résolvant , on trouve soit et . Les signes peuvent être échangés puisqu'ils ont un rôle identique.

Quant à savoir si c'est + ou - devant la racine pour x et y, il te faut utiliser le signe de Y.


De mon côté, pour trouver x et y, j'avais fait un peu différemment :

pour x :
x²+y² + x²-y² = 2x² (J'aime faire de la magie...)
|X+iY| + X = 2x² [I](d'après l'énoncé)

Je trouve

et pour y :
x²+y² - (x²-y²) = 2y² (Encore de la magie )
|X+iY| - X = 2y² (d'après l'énoncé)

Je trouve

Duke.

EDIT : Pourquoi dans ma méthode dans y c'est forcément un "-" sous la racine et dans x un "+" alors que dans la méthode de pallas, c'est semble-t-il indifférent ?

[invite489d2c5c]

Question 2 : En développent je trouve x²+2iy-y²
Donc x²-y² = X
2xiy pour Ydonc Y= 2xy
Mais pour la derniére je ne sais comment faire ..

[invite489d2c5c]

Et je n'ai pas tous compris votre démonstration pour l'existence de deux couples (x;y) solution de (x+iy)²=X+iY

[invite74f9d966]

zoultaka pour la question 2) tu peux mettre:
(x+iy)² = X+iY
x² +(iy)² + 2xiy = X+iY
x²-y² + i2xy = X+iY

donc la partie réelle Re = x²-y²=X
donc la partie imaginaire Im = 2xy = Y

Voilà les 2premières que tu as déjà trouvé maintenant la dernière tu fais le module:
module (x+iy)²

= racine [(x²)² + (y²)²] (cette racine est au carrée)

= racine (x²) + racine (y²) (les deux racines sont au carré)

= x²+y²

donc module x²+y² = racine X²+Y²

[invite489d2c5c]

Bonjour l'étudient, je suis désolée , je n'ai pas compris votre explication même en essayant en vain .. Je me perd ac les x et les X et les y et Y

[invite489d2c5c]

Duke peux tu m'aider ?

[Duke Alchemist]

Duke peux tu m'aider ?

Hé !... Je ne suis pas le sauveur...
C'est le genre de message qu'on fait par MP. Les autres intervenants sont tout autant qualifiés (et pour certains bien plus) que moi pour te répondre.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce qu'a proposé Libre_Etudiant37 ?
C'est la définition même du module d'un complexe qu'il te suffit d'appliquer à la situation ...

Duke.

[invite489d2c5c]

Oui mais ici je n'ai pas de module ..

[Duke Alchemist]

Re-

Là, cela devient (très) inquiétant...

OK ?

or X+iY = x²-y² + 2ixy donc :

 Cliquez pour afficher

ça y est, c'est bon là ?

Duke.

[invite489d2c5c]

Ah oui ! je partais avec un mauvais truc ! Merci

Et pour trouver les couples comment fait on ?

[pallas]

voici tu cherches une autre méthode expliquée par l'exemple ( plus simple ) tu cherches x+iy tel que (x+iy)²=X+iY

exemple les racines carrées de -3+4i
en prenant le module de chaque terme on a x²+y²= Racine (X²+Y²) soit x²+y²=5 de plus on a x²-y²=X et 2xy= Y(partie réelle et imaginaire de l'équation initiale soit x²-y²= -3 et 2xy=4 ( donc le signe de xy est postif ou x et y sont de même signe)
tu associes les deux équations x²-y²= X et x²+y²=Y et en faisant leur somme tu trouves x² et en effectuant leur différence y² et tenant compte du signe tu trouves
ici x²+y²=5 et x²-y²=-3 soit x²= 1 et y²= 4 donc x = 1 ou x=-1 et y= 2 ou y=-2 mais comme x et y de même signe les racines carrées de -3 +4i sont donc 1+2i ou -1-2i
Cette thérie est très simple recommences avec un autre exemple

[invite489d2c5c]

Bonjour pallas, merci de ton aide, juste une petite question pourquoi x²+y²=5 ?

[invite489d2c5c]

Les racines carrées de -21-20i sont 2-5i et -2+5i ?

[invite489d2c5c]

Et les racines carrées de -7+24i sont 3+4i et -3-4i

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Les racines carrées de -21-20i sont 2-5i et -2+5i ?

Et les racines carrées de -7+24i sont 3+4i et -3-4i

C'est nickel tout ça

[invite489d2c5c]

Merci beaucoup, par contre je n'ai toujours pas trouver comment trouver l'existence de deux couples ( question 3)

[Duke Alchemist]

Re-

Revois tranquillement ce qui t'a été proposé précédemment.
Il y a de très bons débuts de piste...

Duke.

[invite489d2c5c]

Quel message, je suis perdu, je ne sais pas quelles réponses répondent a ma question 3 ..

[invite489d2c5c]

Pour la partie B :

question 3 =
a) z1 = -2-3i et z2 = 1-i
b) z1 = -3+i et z2 = -1/2 +1/2 i
c) z1 = -2-5i et z2 = 1-3i

[invite489d2c5c]

J'ai réussi pour les couples ! x= +ou- racine ((-X racine X²+y²)/ 2) et y = + ou - racine ((-X+racine( X²+Y²) / 2)

[invite489d2c5c]

Dans la partie B me manque plus que question 1 et 2

[pallas]

simplement quand tu as (x+iy)²=X+iY ( ici (x+iy)²=-3 +4i)
tu prends le module de chaque terme
soit (rac(x²+y²))²=rac((-3)²+(4)²)
soit x²+y² = rac(25) ou x²+y²=5 ( formule générale x²+y²= rac((X²+Y²)) ok

[invite489d2c5c]

Merci beaucoup !

Pouvez vous m'aidez pour la partie B ?

Merci

[invite74f9d966]

Salut zoultaka,

comment as tu fait pour résoudre dans la Partie B question 3) le 2iz²+(3+7i)z+(4+2i) = 0
et ainsi trouver z1 = -3+i et z2 = -1/2 +1/2 i parce que franchement sur celui ci ça bloque dur.

Merci de ta réponse

[invite489d2c5c]

J'ai calculer le discriminant , et puis 2 solutions.

Avez vous réussi le début de la partie B ?

Merci