etude de fonction

[invite2713d81e]

Bonjour tout le monde :P
Je viens vous demander votre aide pour m'aider à faire mon exercice voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x²-3x-3)e^-2x

1.Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de definition
2.Montrer que f est continue sur R
3.Montrer que f est dérivable sur R
4.Calculer la derivée de f
5.Etudier le signe de f'(x)
6.Dresser le tableau de variation de f
7.Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point x=0
8.Montrer que l'équation f(x)=0 admet 2 solutions: a et b; ON determinera leur valeur approchée à 10^-1 près
9.Résoudre f(x)=0 sur R et en déduire le signe de f sur R

Ce que j'ai fais:
1.limite en +00
lim x²=+00
lim e^-2x=+00
lim f(x)=+00
x-->+00

lim en -00
lim x²=+00
lim e^2x=-00
lim f(x)=-00
x-->-00

2.POur montrer la continuité de f voyans sa lim en o
lim x²-3x-3=-3
x-->0
lim e^-2*0=1
x->0

lim f(x)=3
x-->0
f est donc continue sur R

3.f est dérivable car nous avons un produit de 2 fonction respectivement dérivables elles même

4.f'(x)=u'v+v'u
On obtient : f'(x)= (2x-3)e^-2x + -2(x²-3x+3)e^-2x
Car :
u=x²-3x-3
v=e^-2x
u'=2x-3
v'=-2e^-2x

Mais c'est à partir de la que je doute mais pourriez vous me corriger ce que j'ai fais pour l'instant car étant donné que j'ai besoin de la question 4. pour continuer si elle est fausse le reste de mon exo risque d'étre tout aussi faux
-----

[invite2713d81e]

Queelqu'un pourrait-il me répondre

[invite51d17075]

On obtient : f'(x)= (2x-3)e^-2x + -2(x²-3x-3)e^-2x

il te suffit de mettre e^(-2x) en facteur :
(2x-3-2x²+6x+6)e(-2x)
(-2x²+8x+3)e(-2x)

pour le debut de l'exercice, je l'impression que c'est souvent faux. ! aie !
1) lim en +l'inf
lim x² = +l'inf
lim e(-x²) = 0 ( car-x² tend vers -l'inf)
donc on a une forme indéterminée
mais on sait que les exponentielle snt tj prévalente sur les polynomes
donc limf(x) =0

a toi de corriger les autres (erreur de signe ou de raisonnement )

[invite51d17075]

par exemple,
dans ton calcul d dérivée,
tu ecris une fois x²-3x-3 et dans ton calcul x²-3x+3
( que j'ai corrigé )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2713d81e]

Effectivement je me suis trompé a plusieurs reprises
donc:
1)En +00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0 car -2x² tend verx -00

lim f(x)=0
x-->+00

En -00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0

lim f(x)=0
x-->-00

2)f est continue sur R car la composée de 2 fonction continue est continue( polynome+exp)

3) f est dérivable sur R car nous avons un produit de 2 fonctions derivables

4) la dérivée de f sur R est:
f(x)=u'v+v'u avec
u=x²-3x-3
v=e-²x
u'=2x-3
v'=-2e-²x
d'où f'(x)= (2xe-²x)e-²x - 2(x²-3x+3)
f'(x)= (2x-3-2x²+6x+6)e-²x
f[B]'(x)= (-2x²+8x+3)e-²x[/B]
On sait que la fonction exp est positive sur R donc exp-²x>0 le signe de f(x) est donc donné par -2x²+8x+3 or d'apres le tableau qu'on obtient en calculant delta, x1 et x2 f(x) est croissant de ]-0.34;4.34[ et décroit sur ]4.34;+00[

5) D'apres l'etude du signe précédemment déduis on obtiens ceci:

x -00 -0.34 4.34 +00
f'(x) - + -
decroit croit decroit

6)Equation de la tangente en x=0
y= f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)= 3
f(0)= -3
y= 3x-3

7) f(x)= (x²-3x-3)e-²x
x²-3x-3=0 le resultat sera a ou e-²x=0 resultat sera b
....

8) f(x)=0
x²-3x-3=0
x1= 3-rac21/2 x2= 3+rac21/2 ou exp-²x=0

S={3-rac21/2;1;3+2rac21/2}

[invite2713d81e]

Bonjour
excusez moi d'insister mais il me tarde vraiment de savoir si je suis sur la bonne voie alors???

[invite51d17075]

En -00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0

non lim (-2x) = +oo si x tend vers -oo
donc lim e(-2x) = +oo tout comme la fonction f.

On sait que la fonction exp est positive sur R donc exp-²x>0 le signe de f(x) est donc donné par -2x²+8x+3 or d'apres le tableau qu'on obtient en calculant delta, x1 et x2 f(x) est croissant de ]-0.34;4.34[ et décroit sur ]4.34;+00[

c'est l'inverse.
comme ta fonction ax²+bx+c a un a<0
alors elle est positive à l'intérieur des racines et négative à l'extérieur.

[invite2713d81e]

1/ Limite f(x)= +00
x-->+00

4/

comme ta fonction ax²+bx+c a un a<0
alors elle est positive à l'intérieur des racines et négative à l'extérieur.

oui donc elle est croissante sur ]-0.34;4.34[

[invite2713d81e]

ESt-ce que le reste est correct sinon?

(j'ai un doute concernant le 7); 8) )

[invite51d17075]

1/ Limite f(x)= +00
x-->+00

[

c'est exprès l'innatention ?
en +oo, on l'a vu la limite vaut 0
en -oo, la limite vaut +oo

la tangente est bonne

ton 7) je n'ai compris,

ton 8) qui correspond à la question 7)
8) f(x)=0
x²-3x-3=0
x1= 3-rac21/2 x2= 3+rac21/2 ou exp-²x=0

S={3-rac21/2;1;3+2rac21/2}

les solutions sont bien (3+/- rac(21))/2
mais on te demande d'en faire une approximation
je te propose d'écrire
21=25-4
donc rac(21)=rac(25-4)=rac(25(1-4/25))
soit 5rac(1-4/25) ( j'oublie le +/- parce qu'on les retrouve dans les racines )
or pour x petit tu as peut être vu que (1+x)^n proche de 1+x/n
ici rac(1-4/25)=(1-4/25)^(1/2) proche de 1 -4/50 soit 46/50
les racines deviènnent
(3+/-5*46/50)/2
soit en multipliant par 50 partout
(150 +ou- 230) /100
au final je trouve -0,8 et 3,8

(ps si on avait pris 21=25 on aurait trouvé -1 et 4 .... mais pas assez précis)

[invite2713d81e]

c'est exprès l'innatention ?
en +oo, on l'a vu la limite vaut 0
en -oo, la limite vaut +oo

Oups

En fait ce que j'ai essayé de dire dans la 7) c'est qu'on pouvait avoir 21 solutions pour que l'équation s'annule en 0 donc le premier membre egal on le nomme a OU le second membre egal 0 on le nomme b

[invite427a7819]

Encore faudrait-il savoir que l'exponentielle s'annule... Ce qui n'est pas le cas dans les réels. Tu devrais creuser l'équation x² - 3x - 3 = 0, plutôt.

[invite2713d81e]

C'est a dire? que puis je rajouter de plus que ce que j'ai deja dis
delta= 21
x1= 3.79
x2= -0.79

[invite427a7819]

Ah, d'accord... Je relis la question 7, et ce que vous faites n'a rien à voir...

L'équation d'une tangente en un point d'abscisse x0 s'écrit : y = f'(x0)(x-x0) + f(x0). Il ne te reste plus qu'à appliquer cette formule pour x0 = 0.

[invite2713d81e]

C'est ce que j'ai fais je ne comprend pas ou est l'erreur si erreur il y a

[invite2713d81e]

Du coup pour la 7) je fais comment?

[invite427a7819]

6)Equation de la tangente en x=0
y= f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)= 3
f(0)= -3
y= 3x-3

7) f(x)= (x²-3x-3)e-²x
x²-3x-3=0 le resultat sera a ou e-²x=0 resultat sera b

C'était une simple erreur d'ordination finalement, toutes mes excuses.

Si ce 7 correspond au début de la huit, le passage "x²-3x-3 = 0 le résultat sera a" n'a pas vraiment de sens... Puisque cette équation a deux solutions, et que l'autre n'en a aucune. Sinon, ça me semble correct.

[invite2713d81e]

C'était une simple erreur d'ordination finalement, toutes mes excuses.

Si ce 7 correspond au début de la huit, le passage "x²-3x-3 = 0 le résultat sera a" n'a pas vraiment de sens... Puisque cette équation a deux solutions, et que l'autre n'en a aucune. Sinon, ça me semble correct.

J'ai demandé à mon professeur et apparement il faut utiliser la bijection pour prouver les qu'il existe 2 solutions je fais et je te montre sa tout à l'heure :P

[invite51d17075]

J'ai demandé à mon professeur et apparement il faut utiliser la bijection pour prouver les qu'il existe 2 solutions je fais et je te montre sa tout à l'heure :P

je ne comprend pas cette histoire de bijection.
a partir du moment ou le discriminant est >0 ( strictement )
et que le domaine de définition de la fonction est R, il existe forcement 2 racines.

l'histoire de la 7) et de la 8) , c'est plus un pb de numérotation de la question.
enfin si on te demande une valeur approchée, c'est probablement pour faire autre chose que taper la formule sur sa calculette.

[invite2713d81e]

Bein en fait sa me donne rien d'utile ma bijection --'