divisibilité par 5

[invitefa15af9f]

bonjour à tous
quelqu'un pourra m'aider pour démontrer que est divisible par 5.
Merci d'avance
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[Deedee81]

Salut,

quelqu'un pourra m'aider pour démontrer que est divisible par 5.

Factorise complètement l'expression (ce qui n'est pas difficile), la réponse te sautera aux yeux.

[invitefa15af9f]

Merci pour Votre réponse
Après avoir factorisé l'expression j'ai obtenu l’expression suivante:
A partir de cette équation on peut dire seulement que est paire car ils sont successif.

[invite51d17075]

je ne sais pas si cela "saute au yeux" , mais c'est l'étape indispensable
on cherche si n*(n-1)*(n+1)*(n²+1) est congru à 0 mod 5 c-a-d
n congru à 0 mod 5 ou
n-1 congru à 0 <=> n congru à 1
n+1 congru à 0 <=> n congru à 4
(n²+1) congru à 0
dans les trois premier cas c'est évident : n^5-n est divisible par 5
donc si n congru à 0,1 ou 4 la relation est vérifiée
reste le cas n²+1 a étudier dans les autres cas pour n
c-a-d si n congru à 2 mod 5 ou à 3 mod 5 ( dans les autres cas on a vu que l'équation est multiple de 5)
calcules n²+1 dans les 2 cas !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

je ne sais pas si cela "saute au yeux"

Oups, oui, il y a une étape moins triviale qui suit. Du danger de faire çà de tête.

Merci du coup de pouce.

[invite03f2c9c5]

D'autres pistes que les congruences (qui fonctionnent cependant très bien)…

Cela peut aussi se faire par récurrence (mais développer (n+1)^5 peut être un peu fastidieux).

Ou alors on connaît le petit théorème de Fermat et le résultat est trivial (mais j’imagine qu’alors l’exercice n’aurait pas été posé).

[invite03f2c9c5]

En passant, pour utiliser des congruences, inutile de factoriser, il suffit de distinguer cinq cas, en regardant, selon le reste de la division euclidienne de n par 5, quel est celui de n^5.

[invitefa15af9f]

Merci pour vos réponses
j'ai une suggestion:
est ce qu'on peut supposer que: et on démontre que est divisible par ???
j'ai essayé dans ce sens et j'ai trouvé que d'où le résultat!!
est ce juste???
(j'ai utilisé le raisonnement par récurrence)