Problème avec les vecteurs

[invite375fac29]

Bonjour !
Alors voilà je suis en seconde et j'ai un devoir à rendre dans deux semaines sauf que j'ai un petit problème avec cet exercice :

Deux fourmis se promènent sur le quadrillage ci contre ( comme je ne peux pa vous montrer le quadrillage, je peux vous dire qu'il y a 3 points. Le point A est situé par rapport au point C tel que le vecteur AC a pour coordonnées ( 3;2) , de même le vecteur AB( 1;-2), le vecteur BC(4;4)

La première fourmi partant de A, se retrouve en M en ayant suivi un chemin défini par la somme de vecteurs : (5 fois le vecteur AB) + le vecteur CA

La deuxième, partant de C, arrivera en N après avoir suivi le chemin défini par la sommede veteurs : ( 2 fois le vecteur AB) + le vecteur AC - ( 3 fois le vecteurs BC)

Démonter que les deux fourmis se retrouveront au m^me point.

Voilà, c'est peut être tès simple et j'ai probablement tendance à chercher trop compliqué, mais je ne vois pas du tout comment faire. Du coup si vous pourriez m'aider, je vous en serez très reconnaissante ! Merci d'avance.
-----

[zyket]

Bonjour,

Deux fourmis se promènent sur le quadrillage ci contre ( comme je ne peux pa vous montrer le quadrillage, je peux vous dire qu'il y a 3 points. Le point A est situé par rapport au point C tel que le vecteur AC a pour coordonnées ( 3;2) , de même le vecteur AB( 1;-2), le vecteur BC(4;4)

Curieux !! Si on a "Le point A est situé par rapport au point C tel que le vecteur AC a pour coordonnées ( 3;2)" on ne peut pas trouver que vecteur BC(4;4)

En effet vecteur BC= vecteur BA + vecteur AC= - vecteur AB + vecteur AC donc vecteur BC(-1+3;2+2) d'où vecteur BC(2;4)

[invite375fac29]

Désolé, c vrai je me suis trompée dans les coordonées, je pensais pourtant avoir bien vérifier lol : le vecteur AC ( 4;2) et le vecteur BC(3;4)

[zyket]

OK pour les coordonnées vecteurAC(4;2) , vecteurAB(1;-2) et vecteurBC(3;4)

maintenant les chemins pouvant être représentés par la somme de vecteurs le chemin qui va de A à M est donc représenté par le vecteur AM= 5 . vecteur AB + vecteur CA d'où les coordonnées du vecteur AM(?;?)

Pour le chemin partant de C et allant en N, on a donc vecteurCN=........... d'où les coordonnées du vecteur CN(?;?)

Et là en effet on ne peut pas comparer directement les vecteurs AM et CN. Mais on pourrait comparer par exemple les vecteurs AM et AN. (Ou encore les vecteurs CM et CN).
Que vaut AN en fonction de CN ? (piste : utiliser la relation de Chasles)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite375fac29]

Merci déjà pour tes pistes qui m'ont fait avancer un peu !
Avec les calculs , je trouve que le vecteur AM( 1;-12) et le vecteur CN(-3;-18).
Ensuite, je remarque que le vecteur AM + le vecteur AN = vecteur MN et que le vecteur CM + le vecteur CN = vecteur MN
donc le vecteur AM= le vecteur CM et le vecteur AN= le vecteur CN et donc les points A et C sont confondus. Est-ce correct ?
Seulement je me demande si les calculs sont vraiment nécessiares à la démonstration ?