Bonsoir certaines questions d'un exercice de maths me pose certains soucis :s.
Voici l'énoncé complet de l'exercice:
Partie A
La fonction f est définie sur l'intervalle [0;+infinie[ par f(x)=(20x+10)e(-1/2)*x
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
1.Etudier la limite de la fonction f en +infinie.
2.Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
3. Établir que l'équation f(x)=10 admet une unique solution strictement positive alpha. En donner une valeur approchée décimale à 10-3 près.
4.Tracer C.
Partie B
On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant t=0, est y(0)=0.
On admet que la fonction qui, à tout réel t de l'intervalle[0;+infinie[ associe y(t) est solution de l'équation différentielle : (E)y'+(1/2)*y=20e(-1/2)*t.
1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle [0;+infinie[.
2.On se propose de démonter que cette fonction f est l'unique solution de (E), définie sur [0;+infinie[, qui prend la valeur 10 à l'instant 0.
a) On note g une solution quelconque de (E), définie sur l'intervalle [0;+infinie[, vérifiant g(0)=10. Démontrer que la fonction g-f est solution, sur l'intervalle [0;+infinie[, de l'équation différentielle: (E') y'+(1/2)*y=0.
b) Résoudre l'équation différentielle (E').
c) Conclure.
3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute.
Mes réponses:
Je ne répondrai pas ici aux questions de la partie A étant donné qu'elles ne m'ont pas posé(je pense) réellement de problème et qu'elles sont plus axés sur la fonction exponentielle. Je ne répondrai pas également à la question 1 de la partie B parce que je ne pense pas non plus qu'elle m'est posé problème.
Cela dit la question 2 de la partie B, m'a posé quelques soucis, voici m'a réponse:
2)a) J'ai raisonné par équivalence: soit g une fonction définie sur R+ vérifiant g(0)=0
g-f est solution, sur l'intervalle [0;+infinie[, de l'équation différentielle (E') y'+(1/2)*y=0 ssi
pour tout x appartenant à R+, (g-f)'(x)+(1/2)*(g-f)(x)=0 ssi pour tout x appartenant à R+, g'(x)-f'(x)+(1/2)*g(x)-(1/2)*f(x)=0 ssi pour tout x appartenant à R+,g'(x)+(1/2)g(x)=f'(x)+(1/2)*f(x) ssi pour tout x appartenant à R+ g'(x)+(1/2)*g(x)=20e(-1/2)*x g est solution de (E). Mais avec ce raisonnement je n'ai pas démonter ni que g était définie sur R+, ni que g vérifie g(0)=10 j'ai du poser cette affirmation au début. Ai je le droit de faire sa? Cette démonstration est elle quand même juste ou faut il procéder autrement?
b) Pas vraiment de problèmes pour le début de cette question (E') y'=(-1/2)*y
Les solutions de y'=(-1/2)*y sont les fonctions définies sur R par x donne Ce(-1/2)*x (C)
g-f est solution sur l'intervalle [0;+infinie[ de (E'), donc pour tout x appartenant à R+ (g-f)(x)= Ce(-1/2)*x
On veut f(0)=10 et g(0)=10 soit (g-f)(0)=0 C=0
Ainsi la solution recherché est,
pour tout x appartenant à R+, (g-f)(x)=0.
Ici ma question est la suivante, est ce que (g-f)(0) est bien égal g(0)-f(0)? (Et de manière général (g-f)(x) est il égal à g(x)-f(x) ?)
c)On sait que g est solution quelconque de (E) sur [0;+infinie[, de plus pour tout x appartenant à R+ g(x)-f(x)=0 donc g(x)=f(x). Donc f est l'unique solution de (E) qui prend pour valeur f(0)=10.
La rédaction de cette question est elle bonne? Est-ce bien ce que l'on doit conclure?
3. Cette question là m'a posé de gros soucis. En effet f est la solution de (E) mais a comme condition initiale f(0)=10 or la fonction y(t) représentant la valeur de la température en fonction du temps est bien solution de (E) mais à comme condition initiale y(0)=0. Ainsi comment trouver l'expression de y? Ou n'y a t'il aucun expression à trouver de y et simplement dire que les courbes représentatives de f est y sont similaire au détail près que celle de f est plus haute que celle de y et que donc le correspondant est le trouver à la partie A? Ou ce raisonnement est il faut?
Merci d'avance, bonne soirée .
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