Ensemble de points, nombres complexes

[benpotter]

Bonjour, je dois déterminer l'ensemble de point P d'affixe Z tel que (iz-1)/(z-1) soit réel négatif.
selon moi ça équivaut à Im((iz-1)/(z-1))=0. Je remplace Z par x+iy et trouve une équation de cercle de rayon 1/4 de centre C (1/2;1/2). Cela est-il juste? mais ce n'est pas la priorité, je crois que je n'ai pas fait tout le boulot puisque je ne prends pas en compte le côté négatif, de sorte que : Arg ((iz-1)/(z-1))= pi modulo 2pi
Mais là je suis bloqué, comment faire? j'ai essayé de montrer que cos (alpha)=X/module=-1 d'où X=-module=-RACINE(X²+Y²) mais c'est trop compliqué, je ne crois pas que ce soit le bon moyen de procéder. Une aide ?
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[benpotter]

svp!!!!!!!!!!

[invitea3eb043e]

Quand on a un problème sur les complexes, il y a fort à parier qu'on peut l'aborder de 3 façons :
- géométrique en exploitant le fait que multiplier par z c'est faire une similitude
- en coordonnées cartésiennes en écrivant z = x + i y
- en coordonnées polaires via module et argument.
Ici, on peut, par exemple poser z = x + i y et aussi que (i z - 1 ) = -r (z - 1) où r réel positif
On trouve qu'un nombre complexe combinaison de x, y et r est nul donc ...

[benpotter]

merci pour votre réponse mais je ne vois pas comment vous trouver que iZ-1=-r(z-1) et comment on peut s'en servir

[A voir en vidéo sur Futura]

[benpotter]

j'ai compris comment vous avez trouvé cette formule mais comment s'en servir ensuite?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je remplace Z par x+iy et trouve une équation de cercle de rayon 1/4 de centre C (1/2;1/2). Cela est-il juste?

Sauf erreur de ma part on trouve un cercle de centre C(1/2 ; -1/2) et de rayon moins le point A(1 ; 0)

mais ce n'est pas la priorité, je crois que je n'ai pas fait tout le boulot puisque je ne prends pas en compte le côté négatif

Tu calcules la partie réelle en même temps que la partie imaginaire (c'est un seul calcul pour les 2) et la partie réelle se simplifie et la condition partie réelle négative permet d'obtenir l'équation d'un demi-plan, ... de sorte que la solution = intersection du cercle et du demi-plan moins point A.

[benpotter]

oui, j'ai trouvé le même cercle après vérification (dsl pour les erreurs). Par contre, je ne comprends pas le "moins le point A". De même, j'ai essayé de dire que la partie réelle est inférieure à 0 pour finalement trouver que x>y+1 mais ça ne mène à rien. Néanmoins, il me semble que le résultat correspond à un demi-cercle. C'est surement ce que vous appelez l'intersection du cercle et du "demi-plan moins A". Mais comment trouver l'équation d'un demi-plan? c'est quoi exactement?

[PlaneteF]

Par contre, je ne comprends pas le "moins le point A".

Parce que le point A annule le dénominateur et n'est donc pas dans le "domaine de définition".

De même, j'ai essayé de dire que la partie réelle est inférieure à 0 pour finalement trouver que x>y+1 mais ça ne mène à rien.

C'est exactement çà, et y-x+1<0 c'est bien l'équation d'un demi-plan !!!

[benpotter]

OMG ! J'en pleure de joie !!! je savais que je touchais la réponse du bout des doigts !!! Par contre, je ne connaissais pas du tout les équations de demi-plan, peux tu-me préciser, en fait-on a y-(x-1)<0, où x-1 est l'équation d'une droite, pour être inférieur, Y doit être en dessous mais à quoi correspond exactement ce y?

[benpotter]

en tout cas merci, au fait tu fais quoi comme études?

[PlaneteF]

OMG ! J'en pleure de joie !!!

Par contre, je ne connaissais pas du tout les équations de demi-plan

Tu es en quelle classe ?

peux tu-me préciser, en fait-on a y-(x-1)<0, où x-1 est l'équation d'une droite, pour être inférieur, Y doit être en dessous mais à quoi correspond exactement ce y?

Non il ne faut pas raisonner comme cela. En fait y-x+1=0 (ou y=x-1 si tu préfères) est l'équation d'une droite et une droite délimite bien 2 demi-plans.
Et donc y-x+1<0 et y-x+1>0 sont bien les équations de 2 demi-plans délimités par la droite d'équation y-x+1=0.
En suite pour savoir quel demi-plan correspond à quelle équation tu prends un point arbitraire en dehors de la droite, par exemple (0 ; 0), et tu détermines à quel demi-plan il appartient et à quelle inéquation il répond.

Et donc on obtient bien comme solution un demi-cercle moins le point A !

[PlaneteF]

en tout cas merci, au fait tu fais quoi comme études?

Cela fait 17 ans que j'ai terminé mes études !

[benpotter]

je suis en Term. S Spé physique, alors peut-être que j'ai vu ça brièvement en première, et peut-être que je vais le voir en terminale mais on n'a pas encore commencé ce chapitre.
Quelles études as-tu faites dans ce cas?

[PlaneteF]

Quelles études as-tu faites dans ce cas?

Ingénieur (puis études complémentaires)