Exercice costaud suites.

[invite467bd4bf]

Une petite suite assez sympa à étudier :
, et

PARTIE I :
1) Montrer que la suite est croissante.
2) Montrer par récurrence que ,
3) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite en montrant que celle-ci est la solution positive de l'équation

PARTIE II (pour les courageux) :
1) Déterminer, en fonction de , le terme general de la suite , pour tout entier naturel .
2) Retrouver ainsi le résultat de la question 3 de la PARTIE I.
-----

[danyvio]

On fait tout, tu fais le reste ? (Tiens, je la sers un peu trop souvent celle-ci...)

[invite467bd4bf]

Non mais ça n'est pas du tout une demande de ma part. Personnellement je connais les résultats, j'aimerai savoir si des élèves de Terminale arrivent à faire la partie II par exemple (je l'ai proposé à mon prof, il n'a pas trouvé).

[Gwyddon]

Mais bien sûr ! Et en plus tu nous prends pour des crétins... Déjà tu arrives sans dire "bonjour", tu nous balances l'exercice sans rien de plus, et après tu nous sors l'excuse habituelle "non mais je sais le faire, c'est juste pour voir votre niveau lol".

Tu n'as qu'à nous donner les résultats avec la balise "spoiler" [..SPOILER][/SPOILER] (retirer les deux points), si tu l'as fait comme tu l'as dit, et là tu seras plus crédible et tu pourras oublier mes récriminations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite467bd4bf]

Mais pas de problème ! Bizarre cette réaction...
Je l'écris de ce pas!

[invite467bd4bf]

Je me suis d'ailleurs loupé dans l'énoncé, il est plus judicieux de faire la question 2 avant la question 1.

[Gwyddon]

Bonjour ant84,

Bizarre cette réaction...

Regarde les titres et contenus des 10 dernières discussions sur ce forum, ainsi que les règles concernant l'aide aux exercices, et tu comprendras pourquoi danyvio et moi avons eu cette réaction

Manifestement tu ne fais pas partie de ces demandes impolies à la dernière minute pour que l'on donne les réponses à un DM ou autre, donc oublie toutes mes récriminations !

Je me suis d'ailleurs loupé dans l'énoncé, il est plus judicieux de faire la question 2 avant la question 1.

En fait la 1/ et la 2/ peuvent se faire tout à fait indépendamment. Pour la 1/, je suggère une méthode d'étude de fonction, tout à fait dans l'esprit TS.

Cordialement,

G.

[invite467bd4bf]

Bonjour, voici ma proposition en ce qui concerne le corrigé :

 Cliquez pour afficher

PARTIE I.

1) Soit la propriété : .
Initialisation : donc est vraie.
Hérédité : supposons la propriété vraie au rang , c'est à dire : .
.
Donc est vraie. Récurrence établie.

2) D'après la question 1), .
d'où .
En regroupant les inégalités on obtient : .
On en déduit que la suite est croissante.

3) La suite est croissante et majorée par 2, donc elle est convergente vers une limite
, et .

Donc .
La résolution de cette équation nous donne : .
Donc .

PARTIE II.

1) Soit la propriété : .
Initialisation : donc est vraie.
Hérédité : supposons la propriété vraie au rang , c'est à dire : .
.
Donc est vraie. Récurrence établie.

Remarquez que j'ai utilisé la formule : .

2) donc

DONC .

En espérant que ce corrigé soit bien

[Jon83]

Bonjour à tous!

Pour la partie I, c'est du classique TS et sans difficulté particulière!
Par contre, pour la partie II, il n'y a aucun élément dans le programme qui permette de sortir la fonction brutalement, sans aucune indication!!!

[Gwyddon]

La réponse de ant84 à la question I 1/ est fausse (erreur d'étourderie, la deuxième inégalité sur est fausse). Comme je l'ai dit, en utilisant les outils du programme de TS la question I 1/ se fait sans connaître le résultat de la question I 2/.

[Gwyddon]

Pour la deuxième partie, il faut un peu d'astuce et de nez je dirais. Il faut utiliser toutes les informations de la partie I, notamment le résultat de la question 2.

Si on fait un changement de suite , on se ramène à une suite (Xn) dans [0:1[. La réécriture de la relation de récurrence donne :

soit encore, ayant une suite positive la réécriture suivante sera équivalente :



C'est là qu'il faut faire preuve de flair. Le fait d'être dans [0:1[ peut nous amener à penser que l'on a affaire à une suite soit de cosinus, soit de sinus (qui sont des fonctions ramenant naturellement tous les réels à des nombres entre -1 et 1).

Ainsi, on veut une suite telle que, soit



soit



Il faut maintenant se rappeler des identités trigonométriques, et notamment laquelle pourrait ressembler à ce genre de relation ?

Sur le sinus, on a : ça ne paraît pas très bien parti.

Par contre sur le cosinus, on a , ça paraît plutôt bien !

Maintenant, on s'est ramener à déterminer une suite telle que .

La relation trigonométrique nous permet de trouver tout de suite qu'il s'agit de , puis l'obtention du s'obtient en utilisant .

[Jon83]

Pour la deuxième partie, il faut un peu d'astuce et de nez je dirais. Il faut utiliser toutes les informations de la partie I, notamment le résultat de la question 2.
[/TEX].

Ton approche est très logique, mais, à mon humble avis, un peu trop subtile pour un élève de TS! Pour rester à ce niveau, je verrais bien la question rédigée de façon plus étoffée pour guider l'élève dans la bonne direction...